62 CARLO SOMIGLIANA 
applicando ai due membri l'operazione Dî — a?A;, qualunque 
sia la funzione arbitraria x. Dalla (2) applicando due volte l’in- 
tegrazione rispetto ad r fra 0 ed r si ha: 
0 o=1 (Carfix(is)ar 
È questo l’integrale cercato. Ammettendo che y sia funzione 
regolare nell'intorno del punto »=0, per qualunque valore di #, 
la funzione ®@ definita dalla formola (3) si comporta nell’intorno 
di questo punto come la r. Ammesso infatti che, per qualsiasi 
valore di # e per r sufficientemente piccolo, si abbia: 
x(-L)=w0+tun0+... 
si ricava integrando: 
e 2 
p= 5 Xo0) + aiulia e 
il che prova l’asserto. 
Le singolarità della @ per r=0 si presentano quindi nelle 
sue derivate rispetto ad x, y,; nè all’infuori di questo punto, 
essa può presentare in generale altre singolarità a distanza finita. 
Introducendo la funzione y(#) definita dalla relazione: 
d? 
vg= E = 
possiamo avere una espressione assai semplice della @. Si trova 
infatti dalla (3): 
= ly (i )-v@t+av0, 
e quando si tratti unicamente di trovare un integrale della (1) 
che si comporti nel modo voluto, potremmo senz'altro conside- 
rare w come una funzione arbitraria qualsiasi. 
Possiamo pure esprimere la funzione @ mediante integrali 
semplici: 
rr / e 1 è a 
den 
o anche 
r r 
= “a on di dia — #\dt' 
o=a| xle—-t)d ma LAIC t')dt'. 
