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SU ALCUNE PROPRIETÀ DEI MODULI DI FORME ALGEBRICHE 217 
Sussiste allora il teorema: 
Se le:h<r «ipersuperficie di S, F,== 0, F°=0, ..., Fh=0, 
passano pel punto P colle molteplicità rispettive S1, S2, ...,/Sh, pre 
sentando ivi il caso semplice, ogni F del modulo (F, F., ..., F,), la 
quale sia di ordine | abbastanza elevato ed abbia in P_uno zero 
s-plo (almeno), si può esprimere sotto la forma 
AiF1 + AgF9 4... 4 A4Fh, 
ove le Aj=0, Ao==0, ..., A,=0 passano per P colle rispettive 
molteplicità s—s,, s—S2, ..., SS (almeno) (#). 
Per evitare digressioni inutili, avvertiamo subito che nel 
ragionamento successivo si supporrà / così grande che risultino 
positive o nulle tutte le varie funzioni di / che si dovranno con- 
siderare. 
Poichè il teorema è evidentemente vero per le forme del 
modulo (#,,..., 7}), che passano per P colla minima tra le mol- 
teplicità s1, ss, ..., s4, lo potremo dimostrare in generale per in- 
duzione, passando da s—1 ad s. 
Se F è una forma del modulo (#,,..., F), la quale si an- 
nulli in P colla molteplicità s, avremo 
E= AF + AgF,t+.. PAT, 
ove la A;=0 (?=1,...;/), pel teorema ammesso, passa per P 
colla molteplicità s —s.—1 (almeno). 
Ponendo in P l’origine delle coordinate (x0=1, 1 =%3=... 
=,= 0) ed ordinando le /, /;, A; rispetto alle potenze discen- 
denti di x, verrà: 
b— aL. =, A =agetu tt LL, 
‘ove i coefficienti :d, ®,, a, son forme di 1, 5, ..., , degli ordini 
rispettivi s, s,s—s;—1, ed i puntini stanno in luogo dei ter- 
mini di grado inferiore in o. 
Risulterà dunque 
(18) Os. = E (al LP + 1) 
(*) Il numero intero s è soggetto soltanto alla condizione di non esser 
minore di tutte le s, sa, ..., Sh. 
