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SOPRA CERTE ESTENSIONI DEL TEOREMA DI NOETHER, ECc. 229 
non può essere inferiore al minimo u degli ordini #1, ..., n, In 
È altri termini, quando sia /-=p, risulterà /' identicamente nulla, 
e quindi, per la (5), Y apparterrà al modulo (7; ... f}), e il 
lemma resterà dunque dimostrato per le forme Y di ordine /=y. 
Si potrà ora procedere per induzione, dimostrando la sua verità 
per /=N, quando lo si ammetta per {= N — 1(= pu). Infatti, 
se F ha l’ordine N, sussiste sempre la (5), dove 7’ ha l’ordine 
N--1, e soddisfa all'ipotesi dell’enunciato; ma dunque F' ap- 
partiene al modulo (/,... F}), dal che segue che vi appartiene 
anche £ (#). 
4. — Il lemma precedente ci permette facilmente di esten- 
dere il teorema Af + Bg nel seguente modo: 
Le h=r ipersuperficie F,=0, ..., Fi=0 di S, si seghino in 
una V,-n, presentando il caso semplice nel punto generico di questa 
varietà. Se ® è una parte irriducibile di V,_,, multipla secondo 
Sig.So-s Sy per, E,=;0;.Fa= 0... Fa=.0,, l'equazione: di, una 
ipersuperficie W che passi s,4-...+s,—h+1 volte per ogni ® 
si può scrivere sotto la forma A,F,+... + A,F1=0, le A es- 
sendo forme. 
Poichè il teorema è vero per A =r (vedi introduzione), 
supporremo % < r, e ammetteremo il teorema nello S,_,. Si con- 
sideri allora un S._» generico, 2; esso segherà la V,_,, comune 
alle F,= 0, in una V,_,_3; e l'iperpiano generico del fascio (2) 
segherà ® in .una V,_,._.1, avente la multiplicità s, per la sezione 
di F,=0, e la multiplicità s+ ... + ss —-%k+ 1 per la sezione 
di W; e nel cui punto generico le sezioni delle F,=0 presen- 
teranno il caso semplice. Pel teorema ammesso nello S,._,, la 
forma /, corrispondente a W, stacca sull’iperpiano generico del 
1 fascio (2) una forma del modulo sezione di (#7 ... F,); onde, 
pel lemma precedente, / appartiene al modulo (#7... F}). 
Il teorema resta così dimostrato. 
(*) In questa dimostrazione giuocano gli stessi concetti, già esposti nel 
n. 7 della Nota Lincea del sig. Severi. Io, poggiandomi pure sopra questi 
concetti, avevo composto una dimostrazione un po’ più complicata: la sem- 
plificazione mi è stata suggerita dal prof. Severi, il quale nelle ultime righe 
della sua Nota Lincea osserva che il ragionamento del detto n. 7 si può 
estendere, quando 74 = 2, al caso che la V,-2 comune alle F7,j=0, Fa=0 
sia dotata di parti multiple. 

