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i ALCUNE ESTENSIONI DEL « FUNDAMENTALSATZ > DI NÒTHER, ECC. 257 
| rispondente ad un’ipersuperficie passante solo s--1 volte per 
la W, segue che una combinazione di grado s—1 delle F;,7),....F, 
sarà la F+ ”' e di conseguenza anche la F. Perciò si potrà 
scrivere F= A;,i..i, Fù Fè... F+, essendo la sommatoria estesa 
a.tutti i valori interi positivi o nulli delle i, i, ...,%,, la cui 
somma è s— 1 e dove A;,;,..i, sono forme nelle 20, 21) ...; 2a. 
Se Z è un punto non singolare della varietà W, si dimo- 
strerà che appartiene a tutte le ipersuperficie corrispondenti 
alle forme 4;,;,...,- Infatti pensando ora le 20, 21; ...,22 come le 
coordinate di questo punto Z, dovra essere identicamente nulla 
la y&F, pensata come forma nelle Yo, Yi: «--., Ya, ossia la 
L Aris. (VI? F)h(VH9 Fa)... (vi F.). Pensando le Y0,Y1, Ya 
come coordinate correnti omogenee di punto in S;, gli iperpiani 
veri de, = 0 iquali»toccdaaosin 4 
le corrispondenti ipersuperficie F,= 0, Y3=0,....H,=0, do- 
vranno appartenere al sistema algebrico 
> (VE LEN) 
quindi avranno in comune almeno uno spazio [d—r+1]; il che 
è assurdo, essendo Z non singolare. Perciò saranno nulle tutte 
le forme A;,i,...;i, e passeranno per Z tutte le ipersuperficie, cor- 
rispondenti a queste forme, come si è sopra asserito ('). 
Per le ipotesi fatte sulla W si conclude che tutte le A4;;i,...i, 
sono combinazioni di primo grado delle /,, >, ..., f, e quindi 
che la F è una combinazione di grado s delle F,, F3, ..., f,. 
k+#1) 
} forme del 
r 
È 
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Indicando con ®f}, DI, ..., dia), le | 3 
tipo Fù Fà... F (disposte secondo un certo ordine), dove 
î1, Î9, ...,% sono interi positivi anche nulli, la cui somma è uguale 
a k, si trae che il teorema IV sarà interamente dimostrato, 
quando si provi che la funzione caratteristica del modulo 
(OM, DI ..., dr), per le forme di ordine / nelle 20, 21, ..., 2a 
è uguale a 
1 
r 
fa +) n +d;s, im, Mg, ...,M). 
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(!) Se sì suppone Z l’origine e si sceglie in modo opportuno la pira- 
mide fondamentale, il ragionamento precedente diventa più semplice, ma 
perde quel carattere di generalità, che occorre per questioni più compli- 
cate, p. es. per le varietà rappresentate coll’annullare tutti i determinanti 
di 2° ordine di una matrice generica a due linee. 
