340 MARIO PIERI 
a) “ Se i punti a e d sian separati armonicamente da due punti p 
“e q d'una catena x, gli armonici di « e d rispetto a X sa- 
“ranno eziandio separati armonicamente dai punti p e q ,. 

[Si può conceder, che a e d non sian separati armonicam.° 
da x. — Detti a' e d' gli armonici di a e d rispetto a x 
($3, Tr. 12), i quattro punti (distinti) a, d, 4’, 9' giaceranno — 
sopra una stessa catena p, ortogonale a y in due punti 
($ 3, Tr. 13 e Df. 3) che chiameremo w e e. Ora i due punti 
a e d son separati l’un l’altro dalla catena x ($ 5, Tr. 5) e ? 
dalla coppia «, v ($ 5, Tr. 1): per la qual cosa i due punti — 
armonici ad ambo le coppie (a, 6) ed (v, v) (XXIV) saranno 
armonici rispetto a p ($ 3, Df. 2), e giaceranno in x ($3, i 
Df. 3% e Tr. 15): anzi coincideranno coi punti p e 9g, dal 
momento che, per ipts., 4 e è non separano armonicam.® x. _ 
Saranno dunque in involuzione su p le tre coppie di 
punti («, ©), (a, 5), (a, 8”) — dove d' = Arm(p,g,a') — 
grazie all’aliomografia involutoria Arm(p, 9, ) ($ 2, Tr. 59) 
che rispecchia in sè stessa la catena p, e al Tr.7 $3 per 
cui si sa che 2" deve cader su p. Ma questa catena è al- 
tresì convertita in sè stessa dalla trasformaz.e Arm(u,v,#), 
che rappresenta. «, ©, a', b rispettiv.° in «, 0, @, d': onde sa- 
ranno pure in involuzione su p le tre coppie («,), (4, 5), 
(a’, 5'); dunque 9" =d' ($2, Tr.4, ecc.) c. vi d.]. 
Dato che p,g siano punti distinti d’una catena x ed @ un 
“ punto (della medesima retta #) escluso da Xx, poscia a' 
“ l'’armonico di « rispetto a x; qualunque volta un punto è 
“ della catena |pag| non sia separato da a per mezzo dei 
“ punti p e 9g, l’armonico di è rispetto a x giacerà sulla 
“catena |pa'g| ,. [Si può conceder che d sia diverso da 4, 
e che la catena [pag] non sia ortogonale a x. — I punti 
a, b, a',6' — dove d' è l’armonico di d rispetto a x — spet- 
teranno ad una catena p ortogonale a x in due punti v e ®: 
e qui pur, come dianzi, saranno in involuzione su p le tre 
coppie («, ), (@, 5) e (a’, d'), grazie all’aliomografia involu- 
toria Arm(u, v, r). Ora, poiché le catene p e XY — passanti 
sì l'una che l’altra per i due punti distinti v e v — tagliano — 
una medesima catena |pag|, non contenente v né v, secondo 
coppie di punti che non si separan fra loro, nemmeno i 
punti « e v potranno esser separati dai punti a e d ($ 5, 
b) 
