406 GIACINTO GUARESCHI 
Se la (2) non ammette soluzioni, le proprietà che si otten- 
gono, si riferiscono al sistema della polarità (1’) e dell’antipo- 
larità (2’). 
1. Piramidi autopolari comuni ad una quadrica e 
ad una iperquadrica. — Per ricercare il numero e la specie (*) 
delle piramidi autopolari che una quadrica Q ed un’iperqua- 
drica Z/ di uno stesso spazio S,-, possono avere in comune, 
basta esaminare quali proprietà presenti, rispetto agli elementi 
uniti, l’ anticollineazione A prodotto della polarità e dell’ anti- 
polarità, rispettivamente individuate da Q e da /. 
Un’anticollineazione generale in uno spazio $S,_, possiede un 
certo numero % (tale che 0<2%<%») di coppie di punti involu- 
torii ed inoltre n — 2% punti uniti, costituenti tutti insieme i 
vertici di una piramide Y (**). 
Se il numero # è nullo, risulta senz'altro che Y è piramide 
autopolare della stessa specie tanto rispetto a @, quanto ri- 
spetto ad /. 
Se invece 4 non è nullo, indichiamo con 0,09, ..., One È 
punti uniti dell’anticollineazione A e con P,, P;'j Pa, Pai. Pa Pi 
le X coppie di punti involutorii. Detti mt, e m,' gli iperpiani po- 
lari del punto P, rispetto a Q e ad /, e quindi del punto P)' 
rispetto ad I e a Q, si ha che m, e n’ sono involutorii in A 
e coincidono con una delle % coppie di iperpiani che congiun- 
gono ogni coppia di punti P allo spazio S,_s individuato dai 
punti 0 .e dalle rimanenti % — 1 coppie di punti P. Se l’uno dei 
punti P,, Py' sta sull’una forma, su questa sta anche l’ altro e 

(*) Di una forma quadratica od Hermitiana f sia data una piramide 
autopolare Z, di cui chiamiamo i vertici 0, 0,,. .., On e gli iperpiani 
Wi, Wa, ..., tn (Wx essendo l’iperpiano polare di 0x). Sia il vertice On auto- 
reciproco rispetto ad f; allora quel vertice 0x che non sta in W, è pure 
autoreciproco rispetto ad f ed ha, fra gli n—1 iperpiani di 2 passanti per 
esso, come polare quello che non passa per la retta On0x. Se un 3° ver- 
tice 0, è autoreciproco, il suo iperpiano polare w, passerà per la retta 0n0x 
ed esisterà un 4° vertice 0m autoreciproco, esterno ad w. Continuando il 
ragionamento si giunge alla conclusione che, se la piramide X possiede 
vertici autoreciproci rispetto ad f, questi devono essere in un certo numero 
pari 2p (tale che 0<2p<n). Si definisce come specie della piràmide 2 il 
numero p + 1. 
(**) Cfr. Segre, Un nuovo campo, ecc., Nota I. 

