SULLE SUPERFICIE ALGEBRICHE, ECC. 639 
è razionale; passeremo allora a determinarne la rappresentazione 
piana. 
Fissato uno dei nostri Sx, esso con #4 —1 punti generici B 
della ® determina un S3;_1. Condotto per siffatto S,_, un Ss e 
per questo un Ssn4,, l'intersezione di tale iperpiano con ® è una 
linea €‘ composta della C°* contenuta in Sy e di un’altra 0î" 
che taglia la prima in % punti e passa per gli 4 — 1 punti 5, 
cosicchè l’ Sa, considerato, contenendo questi 24 —1 punti 
taglia Cî* e quindi ® ancora in un punto. Dunque gli Sy, pas- 
santi per il fissato S3;_, projettano la ® biunivocamente in un 
piano arbitrario q. 
Una sezione iperpiana Cl’ di ® taglia la O” già fissata in 
2h punti, quindi viene projettata in una F?*, mentre una C7° taglia 
la fissata C** in » punti e vien così projettata in una M* segante 
ogni [° in 2% punti mobili, mentre due F* si tagliano in % punti 
mobili. Risulta di qui che le T* formano un sistema razionale 
di ordine %, dimensione £ + 1, grado /, cioè o il ben noto si- 
stema di ordine 4 con un punto fondamentale (K—1)?! ed 4 —1 
punti fondamentali semplici, oppure il sistema di tutte le coniche 
del piano. Nel primo caso le F? sono tutte le curve di ordine 2% 
con un punto fondamentale 2(h—1)®° ed k4—1 punti doppi (*), 
nel secondo tutte le quartiche del piano. Nel primo caso la ® 
possiede co’ coniche, nel secondo nessuna e si ha così una ®;; 
3 di S, la quale nella classe di superficie di cui ci occupiamo 
(le quali presentano molte analogie con quelle ben note di or- 
1 dine n—1 immerse in S, e che si possono classificare in modo 
| analogo a queste) fa la stessa parte che la superficie di Vero- 
nese rispetto alle rigate razionali. 
Concludendo abbiamo: Le sole superficie è cui S, seganti non 
riempiono lo spazio ambiente S,, pur contenendo complessivamente 
i almeno co" punti, sono la superficie di Ssn3s rappresentabile nel 
piano con il sistema delle curve d’ordine 2h con un punto fonda- 
3 mentale 2(h—1)"° ed h—1 punti doppi, e nel caso di h=4 anche 
la superficie rappresentata dal sistema di tutte le quartiche del 
piano. 
(*) Queste superficie sono già state segnalate sotto altro punto di vista 
dal prof. Castelnuovo nella Nota: Sulle superficie algebriche le cui sezioni 
piane sono curve iperellittiche, “ Rend. Circe. Mat. Palermo ,, tomo IV, 1890. 

