î BEPPO LEVI — TEORIA ARITMETICA, ECC. 739 



Saggio per una teoria aritmetica 
delle forme cubiche ternarie. 
Nota I di BEPPO LEVI, a Torino. 
I tentativi per risolvere in numeri razionali l'equazione in- 
determinata di terzo grado (0, ciò che è lo stesso, risolvere in 
numeri interi l'equazione omogenea di terzo grado in tre varia- 
bili) rimontano a Fermat, il quale, da una soluzione supposta 
nota dell'equazione y = a +bx + ce? + dx3 o dell’altra 
pg=za+br+cae + da +ex' (dove a, bd, c, d, e rappresen- 
tano numeri razionali) insegnò a dedurre. con, procedimento ra- 
zionale, una soluzione dell'equazione medesima, in generale diversa 
dalla prima. Il metodo di Fermat è riprodotto da Eulero nella 
sua Algebra (') e poi. più brevemente, dal Legendre nella Théorie 
des nombres (?). Esso consiste sostanzialmente, nel determinare 
— per la prima equazione — le coordinate del tangenziale del 
punto razionale noto nella cubica che l’equazione rappresenta, 
oppure le coordinate dell’ulteriore punto d’intersezione della 
cubica con una conica tangente ad essa nel suo punto all’infi- 
nito e tritangente nel punto razionale noto. Quanto alla seconda 
equazione essa rappresenta notoriamente una quartica avente 
un tacnodo nell'unico suo punto all'infinito, ed il metodo di 
Fermat consiste nel determinare l'ulteriore intersezione della 
quartica con una conica tritagente ad essa nel punto razionale 
dato e tangente ad essa (e quindi alla retta all’infinito) nel punto 
all’infinito della quartica medesima. 
Non sono queste invero le equazioni più generali per cui 
simili considerazioni possano applicarsi, ma all'una o all’altra 
indifferentemente si conduce, mediante una sostituzione birazio- 
nale a coefficienti razionali, l'equazione di ogni cubica (o di ogni 
(4) L. Eucer, Él6mnens d’Algèbre, trad. Bernoulli, avec Additions par 
Lagrange, 1774 (vol. II, p. 135 e seg.). 
(*) 2° édition, 1808, p. 481. 
Atti della R. Accademia — Vol. XLI, 49 

