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curva ellittica) di cui sia noto un punto razionale; ed il supporre 
che di dette equazioni si conosca una soluzione razionale (finita) 
equivale a supporre che un secondo punto razionale sia noto 
sulla curva primitiva. Questa domanda è realmente eccessiva: 
i metodi medesimi del Fermat possono applicarsi evidentemente 
alla cubica generale senza farle subire l’accennata trasforma- 
zione, onde è ben naturale che, insignificantemente modificati, 
siano ricomparsi ben tosto — indipendentemente forse dalla 
prima fonte — presso i geometri che successivamente ripresero 
il medesimo problema: Cauchy (!), Desboves (2), Lucas () e re- 
centemente Poincaré (4). Insieme colle tangenti in punti razio- 
nali noti si usano qui le congiungenti coppie di punti razionali, 
le cui ulteriori intersezioni colla cubica sono chiaramente nuovi 
punti razionali, ed anche intersezioni con curve d’ordine > 1 
(Lucas). 
Alle accennate ricerche d'indole generale devesi poi ag- 
giungere una larghissima bibliografia di studi particolari sulle 
condizioni di risolvibilità e sulla determinazione di tutte le so- 
luzioni (od anche solo di parte di esse) di equazioni particolari 
(principalmente binomie — spesso a coefficienti numerici dati — 
prima fra tutte l'equazione di Fermat 43 + y3 = 2? 0, se si vuole, 
x° 4 y3 = 1). Cionondimeno si può dire che la teoria sia del 
tutto muta dinnanzi al problema generale delle proprietà arit- 
metiche delle forme cubiche. Anche la lunga memoria citata del 
Poincaré, in mezzo ad alcune felicissime osservazioni, lascia 
aperti assai più problemi di quanti ne risolva: e la risoluzione 
che qui si troverà di alcuni di essi pare, non solo come pro- 
blema, ma ancora per i risultati cui essa porta, non priva d’in- 
teresse. 
Il problema è vasto e — a quanto pare — in gran parte 
nuovo o intentato. Non vorrà dunque stupire il lettore se a 
molte e molte domande non abbiamo per ora alcuna risposta. 
(1) Hxercices de mathématique, cahier 4, 
(?) “ Nouvelles Annales , (2), 18, 20, (3), 5. 
(*) Sur l’analyse indéterminée du troisiòme degré ete., “ Nouv. Annales ,3 
(2); 17,0pad0.7% 
(*) Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques, © Journal de 
Liouville ,, (5), 7, 1901, p. 161. 






