TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 741 
Delle cubiche che qui sì studiano si ammette quasi sempre 
noto un punto razionale (il riconoscere su di una cubica data 
in modo generico, se un tal punto esista è problema oltremodo 
difficile, ed irrisolto fin qui). Per tali cubiche sono studiate le 
condizioni di equivalenza per trasformazioni birazionali a coef- 
ficienti razionali, e sono determinati gli invarianti numerici in- 
dipendenti la cui uguaglianza caratterizza tale equivalenza. Si 
passa quindi all'esame delle successioni di punti razionali che 
si ottengono da un gruppo di punti razionali noti mediante ope- 
razioni razionali, e particolarmente del caso in cui una tale 
successione dà luogo ad infiniti punti. Modificata quindi, per ra- 
gioni che si diranno, la nozione di rango già introdotta dal 
Sylvester e nuovamente fatta rivivere dal Poincaré, si pongono 
i preliminari per uno studio delle cubiche a birapporto razio- 
nale. A note successive si rimandano alcune deduzioni riguardo 
a tali cubiche, e l’esame dei gruppi finiti di punti razionalmente 
dipendenti. Le conclusioni di quest'ultimo studio paiono partico- 
larmente interessanti. 
1. — Riferito il piano ad un sistema di coordinate trili- 
neari, l'equazione cubica in tre incognite omogenee rappresenta 
una cubica, ed ogni sua soluzione intera un punto razionale 
della cubica. La semplicità e l’evidenza del linguaggio geome- 
trico ci consiglierà costantemente di riferirci a questa rappre- 
sentazione. 
Le equazioni delle curve che si avrà per tal modo occa- 
sione di considerare si supporranno costantemente a coefficienti 
razionali: perciò si tralascierà di regola di ricordare tal con- 
dizione. 
Un gruppo di punti del piano si dirà razionale quando è 
definito come il gruppo totale dei punti comuni ad un dato si- 
stema di curve (a coefficienti razionali): un gruppo razionale è 
irreduttibile se ogni curva a coefficienti razionali passante per 
uno dei suoi punti passa di conseguenza per gli altri: ogni 
gruppo razionale è un insieme di gruppi razionali irredattibili. 
