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Generalità intorno all’equivalenza razionale 
di due cubiche. — Invarianti, 
2. — Diremo razionalmente equivalenti due cubiche a coef- 
ficienti razionali quando esse possono trasformarsi l’una nel- 
l’altra mediante una trasformazione — birazionale sulle curve — 
a coefficienti razionali. Una tal trasformazione diremo per bre- 
vità una trasformazione razionale dell'una cubica nell’altra. 
È noto che ogni corrispondenza birazionale fra due cubiche 
C e C' può stabilirsi mediante o? trasformazioni cremoniane 
quadratiche dei loro piani (!) e che una qualunque di queste 
trasformazioni quadratiche può definirsi prendendo come punti 
fondamentali nel piano di C i punti in cui C medesima è segata 
ulteriormente da una conica arbitraria passante per tre punti 
di C corrispondenti a tre punti allineati di C° (2). 
Segue di qui che se — /e cubiche essendo a coefficienti ra- 
zionali — la corrispondenza fra esse può esser definita mediante 
formole a coefficienti. razionali, le due cubiche si trasformeranno 
luna nell'altra per mezzo di una trasformazione cremoniana qua- 
dratica a coefficienti razionali. Infatti i tre punti d’intersezione 
di C' con una retta razionale costituiscono una terna razionale, 
cui corrisponde su C una nuova terna razionale (*). Per questa 
e per due punti razionali arbitrari del piano di C passa una 
conica a coefficienti razionali che taglia nuovamente € in tre 
punti, costituenti una terna razionale. Si scelgano questi come 
punti fondamentali della trasformazione quadratica, secondo 
quanto sopra si è ricordato: ogni terna di punti di C' allineati 
(4) Cfr. Segre, Le corrispondenze univoche sulle curve ellittiche, © Atti 
della R. Ace. delle Scienze di Torino ,, 1889 (n. 3). 
(*) Perchè una trasformazione quadratica così definita trasforma € in 
una cubica in cui a tre punti allineati di C' corrispondono 3 punti alli- 
neati; quindi projettivamente identica a C' (Cfr. Sere, l. ce. MarLETTA, 
Sulla identità projettiva di due curve algebriche, © Atti dell’Acc. Gioenia ,, 
Catania (4), 19, 1905). 
(3) Per rientrare nella definizione di gruppo razionale di punti data al 
n. 1, basta considerare questi gruppi come comuni rispett. all'una e all'altra 
cubica data e a quelle costituite dalle terne di rette che li projettano dai 
punti fondamentali delle coordinate. 

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