TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 743 
sopra una retta razionale, avrà per corrispondente in C una 
terna razionale di punti che con quei tre punti fondamentali 
sta sopra una conica a coefficienti razionali ('). La corrispon- 
denza quadratica definita dalla omografia che così resta stabi- 
lita fra le coniche della rete e le rette del piano di l' (nella 
quale omografia a rette a coefficienti razionali corrispondono 
coniche a coefficienti razionali e reciprocamente) ha dunque coef- 
ficienti razionali. i 
Tutte e sole le trasformazioni razionali di C in C' si ot- 
tengono evidentemente moltiplicando una fissa di esse per tutte 
le trasformazioni razionali di C' in se stessa: lo studio e la 
classificazione delle trasformazioni razionali di due cubiche equi- 
valenti l’una nell'altra si riconduce dunque allo studio delle 
trasformazioni analoghe d’una cubica in sè. Esamineremo par- 
ticolarmente. il caso in cui le cubiche abbiano punti razionali. 
8. — Se la cubica € possiede un punto razionale A, ogni 
trasformazione razionale di C in se stessa trasforma A in un 
punto razionale di C (distinto da A o coincidente con esso). È 
noto d’altra parte che secondochè € è una cubica a modulo ge- 
nerale o armonica o equianarmonica esistono 2,4 o 6 serie di 
trasformazioni birazionali di C in se stessa, in ciascuna delle 
quali esiste una ed una sola trasformazione che trasforma un 
dato punto A in un dato punto B di C (?). 
Ne risulta che, se la cubica C possiede punti razionali, fissato 
arbitrariamente uno di questi A si può stabilire fra la totalità 
dei punti razionali di (© e le trasformazioni razionali di C in se 
stessa una corrispondenza per modo che in ciascuna delle nomi- 
nate serie di trasformazioni birazionali di C in se stessa ne esiste 
al più una razionale in corrispondenza a ciascun punto razionale 
di C, la quale precisamente trasforma A in questo punto. 
Completeremo questa osservazione dimostrando che, qua- 
lunque sia la cubica C, ad ogni punto razionale B diverso da A 
corrispondono precisamente DUE E DUE SOLE trasformazioni razionali 
(') Funzioni simmetriche delle coordinate dei punti di ciascuna delle 
due terne. 
(*) Cfr. SeGze, l. c. 
