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di C in se stessa che mutano A in B: esse appartengono rispetti- 
vamente alle due serie di trasformazioni generali; una trasforma- 
zione singolare (sopra una cubica armonica o equianarmonica) 
non è mui razionale (*); esiste infine una sola trasformazione ra- 
zionale che muta A in se stesso, ed è una projezione della cubica 
su se stessa. 
Si noti invero che la projezione di C su se stessa da un 
suo punto razionale è una trasformazione razionale di C in sè. 
Siano allora A e B due punti razionali di 0, i quali eventual- 
mente potrebbero coincidere; sia B,, l'ulteriore punto d’interse- 
zione di C colla retta A B: sarà anch'esso razionale: d’altronde 
non è escluso possa coincidere con A, con B o con entrambi. 
La projezione di C su se stessa da B,, è una prima trasforma- 
zione razionale di C in sè che muta A in B. Sia ancora 7 il 
tangenziale di B: sarà esso pure un punto razionale: se alla 
trasformazione ora nominata si fa seguire la projezione di C su 
se stessa da 7, la trasformazione prodotto è ancora razionale, 
appartiene alla seconda serie (delle trasformazioni generali) e 
muta ancora A in B. Se però A e B coincidessero, coincidereb- 
bero B, e 7’ e la nuova trasformazione si ridurrebbe all'identità. 
Resta a mostrare la non esistenza di trasformazioni razio- 
nali singolari. 
Consideriamo dapprima una cubica armonica: il quadrato 
d’una trasformazione singolare su di essa è una projezione della 
cubica su se stessa; se quindi una tal trasformazione 7 è ra- 
zionale, la cubica possiede un punto razionale A, tangenziale 
dei suoi punti uniti. Siano 0, e 0, i due punti non uniti per 7 
di cui A è tangenziale: essi formano una coppia involutoria per 
la trasformazione razionale 7" e formano perciò una coppia ra- 
zionale. La retta 0,0, incontra quindi ulteriormente la cubica 
in un nuovo punto razionale A’. Si chiamino (0;), (0) le pro- 
jezioni della cubica su se stessa da 0; e 0, rispettivamente: 
il prodotto (0,) 7 (0,) = (0) 7 (0;) sarà una nuova trasforma- 
zione razionale singolare della cubica appartenente alla stessa 
serie di 7 ed avrà per punti uniti A ed A'. Si chiami 7, questa 
trasformazione, e si pensi, per semplicità, previamente tras- 
(4) Cfr., dal punto di vista analitico, il n. 8. 


