TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 745 
formata razionalmente la cubica, in una in cui A sia flesso; 
ognuna delle trasformazioni cremoniane quadratiche che con- 
tengono 7, degenera allora in una collineazione in cui son punti 
uniti A, A’ e il punto d’incontro della tangente in A colla retta 
armonica di 4; ed il quadrato di questa collineazione deve es- 
sere l’omologia armonica che contiene la projezione della cubica 
su se stessa da A. Questa collineazione è quindi immaginaria (1) 
e perciò certamente non razionale. È dunque assurdo che sia 
razionale 7, e quindi 7. 
Consideriamo ora una cubica equianarmonica: una trasfor- 
mazione singolare razionale di periodo 6 la quale esistesse sulla 
cubica avrebbe l’unico suo punto unito razionale. Se poi sulla 
cubica si avesse una trasformazione singolare razionale di pe- 
riodo 3, ed inoltre un punto razionale, il prodotto di quella 
trasformazione per la projezione da questo punto sarebbe una 
trasformazione razionale singolare di periodo 6, e di nuovo 
avrebbe l’unico suo punto unito razionale. Sia A questo punto, 
O il suo tangenziale: la trasformazione considerata determina 
nel fascio O una projettività ciclica del 3° ordine avente il raggio 
unito OA razionale (e quindi reale). Questa projettività non può 
dunque essere reale, e quindi nemmeno la trasformazione della 
cubica in sè che l’ha generata (2). 
(') Sia A" il terzo punto unito della collineazione: Pun punto del piano, 
P' il suo corrispondente, P, il corrispondente di P', coniugato armonico 
di P rispetto ad A e alla retta AA"; siano L, M i punti d’intersezione di 
A'A" colle rette P'P, PP, e H, K i punti d’intersezione di A°A” colle 
AP, AP. Il gruppo (HKLM) dovrà essere armonico perchè projezione di 
HAPP, da P'. Del pari dovrà essere armonico il gruppo (HK A' A"). ed in- 
fine anche (LM AA"), perchè He K, L e M debbono corrispondersi nella 
collineazione: le tre coppie HK, LM, A'A" non possono essere tutte reali e 
quindi nemmeno entrambi i punti P,P'. 
(?) Dalle precedenti considerazioni risulta pure che una cubica armo- 
nica su cui esistesse una trasformazione razionale singolare o una cubica 
equianarmonica su cui esistesse una trasformazione razionale singolare di 
periodo 6 dovrebbero possedere punti razionali, e si ricadrebbe nella pre- 
cedente contraddizione; quindi, indipendentemente dall'ipotesi dell’esistenza 
di punti razionali, una cubica armonica a coefficienti razionali non può mui 
possedere trasformazioni razionali singolari, ed una cubica equianarmonica a 
coefficienti razionali non può mai possedere trasformazioni razionali singolari 
di periodo 6. 
