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4, — Da queste osservazioni segue immediatamente che 
se due cubiche € e €" razionalmente equivalenti hanno punti razio- 
nali, esistono sempre due e due sole trasformazioni razionali dell'una 
nell'altra che a un punto razionale arbitrario dell’una fanno corri- 
spondere un punto razionale arbitrariamente fissato sull'altra. 
Siano infatti A, 4° i due punti razionali fissati rispettiva- 
mente su Ce C': se una trasformazione razionale 7 di C in C' 
muta A in un punto di C' (necessariamente razionale) diverso da 
A’, sia B' questo punto: sia poi U una delle due trasformazioni 
razionali che mutano C' in se stessa è B' in A': la trasforma- 
zione TU trasformerà C in C' facendo corrispondere A e A'. 
Se poi la 7 fa già corrispondere A ad A', una seconda 
trasformazione della stessa proprietà sarà il prodotto di 7 per 
la projezione di C' su se stessa dal tangenziale di A'. 
Se in particolare le due cubiche razionali C e C' sono razional- 
mente equivalenti e ciascuna di esse possiede un flesso razionale, 
esse possono trasformarsi razionalmente l’una nell'altra in modo 
che i due flessi si corrispondano. È noto che la trasformazione 
del due piani in cui quella delle cubiche è contenuta è allora 
una collineazione. 
5. Ci varremo dell’ultima osservazione per dedurre le 
condizioni perchè due cubiche razionali, possedenti ciascuna un 
punto razionale, siano razionalmente equivalenti. Assoggettando, 
al bisogno, ciascuna delle due cubiche ad una trasformazione 
cremoniana quadratica che muti in un flesso il punto razionale 
noto, si può supporre che le due cubiche C e C' di cui si vogliono 
studiare le condizioni di equivalenza abbiano ciascuna un flesso 
razionale e che la trasformazione sia una projettività a coefficienti 
razionali in cui questi flessi si corrispondono e con essi neces- 
sariamente le tangenti per essi alle cubiche rispettive e i punti 
di contatto di queste. 
Riferita ciascuna cubica ad un sistema di coordinate nel 
quale il flesso considerato sia a =y= 0 (risp. #' =y'=0) e 
la sua conica polare sia x 2=0 (risp. x' 2' = 0), le loro equa- 
zioni prendono la forma: 
(1) 224 ap3 == 0, (2) 2'22+a'9g9=0 
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