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TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 751 
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st a a 
ossia quando tm) ed 5) PosSeIgano lo stesso fattore non qua- 
dratico. 
Particolarmente notevole è questa condizione nel caso della 
cubica armonica, in quanto vale ad eliminare l'ambiguità di 
segno che ancora rimaneva nella (8'). Dovranno cioè scegliersi 
i segni di d(m) e d(m') (che la formola (9') lascia indeterminati), 
d À . - 4 . 
per modo che 5 (n) ed 5(m) abbiano lo stesso segno; per es. uguali 
rispettivamente ai segni di a e di a' (1). 
9. — Riassumendo i risultati dei ni 5-8 si può dunque 
enunciare che una cubica a coefficienti razionali che possegga un 
punto razionale dipende in generale da due invarianti aritmetici 
indipendenti, l'uguaglianza dei quali per due tali cubiche esprime 
la condizione necessaria e sufficiente per la loro equivalenza ra- 
zionale. 
Supposta l'equazione della cubica portata nella forma: 
c2° + a@g(e4) = 0 
@3(27) = mo? + 3myx?y + 3Imacy® + 4} 
e posto: : 
v==" mi Mi j=m — mms + 2m$ (È) 
33 
1 . . 
3 il massimo fat- 
(il quale si potrà naturalmente sempre 
è due invarianti sono, per la cubica generale, 
aj 
1 
assumere numero intero, avendo cura di trasformare in quadrato 
il denominatore di questo numero razionale). 
Il primo invariante si può calcolare direttamente sull’ equa- 
zione della cubica nella sua forma generale perchè (a meno del 
tore non quadratico di 
3 
fattore —24) è l’invariante assoluto " della forma biquadratica 
(') Si noti che la determinazione della sostituzione (3) che ne risulta, 
con una sola ambiguità di segno nel coefficiente Y è l’immagine analitica 
delle conclusioni altrimenti ottenute ai ni 3, 4. 
(*) Si sono qui mutati solo per un fattor costante i valori dati prece- 
dentemente ai simboli ? e j (equaz. (6)); tale alterazione non muta eviden- 
temente le conclusioni: analoghe modificazioni, per sola comodità di serit- 
tura, si sono portate in alcuni degli invarianti successivi. 
