VISPELRETAGTO 
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rappresentante la quaterna di tangenti da un punto della cubica 
alla cubica medesima: ad esso può sostituirsi il birapporto della 
cubica (invariante irrazionale). 
Fanno eccezione i casi della cubica armonica ed equianar- 
monica. 
Per la cubica armonica i due invarianti sono îl massimo fat- 
tore non quadratico di i — sia 6 — e il massimo fattore non 
quadratico di | aVi:0). 
Per la cubica equianarmonica i due invarianti sono il mas- 
simo fattore non cubico di j(<=m, — mì) — sia 6, — ed il massimo 
fattore non quadratico di aVjo,. 
Quando le cubiche (1) e (2) (n. 4) posseggono un punto ra- 
zionale diverso dal flesso «=%y=0 (risp. e' =y' =0) e dai 
punti d’intersezione colla retta 2 =0 (risp. e'=0) la seconda 
condizione d’equivalenza (n. 8) prende ancora una diversa forma 
degna di nota. Si vede infatti che, dopo la trasformazione (3), 
x 
le rette — = cost che projettano punti razionali dell’una cubica, 
, 
Y 
projettano pure — nell'ipotesi della equivalenza — punti razio- 
nali dell’altra; e reciprocamente è sufficiente per l'equivalenza 
che su una stessa retta 7 = cost. stiano punti razionali delle 
due cubiche, non appartenenti alle rette e = 0, 2' = 0. Quindi 
se due cubiche aventi lo stesso birapporto (e soddisfacenti all’ulte- 
riore condizione che a questa si aggiunge qualora siano armo- 
niche o equianarmoniche) ed aventi un flesso razionale, hanno an- 
cora un punto razionale di cui quel flesso non sia tangenziale, la 
condizione necessaria e sufficiente per la loro equivalenza è espressa 
dal fatto che il gruppo formato dalle quattro tangenti passanti pel 
flesso (compresa quella nel flesso medesimo) e dalla projettante 
il punto razionale supposto nell’una sia projettivo al gruppo for- 
mato dalle tangenti pel flesso dell'altra e da una retta projettante 
dal flesso un (conveniente) punto razionale di questa. 
Le successioni di punti razionali d’una cubica 
razionalmente concatenati, 
10. — Si dirà che un punto razionale o un gruppo razio- 
nale di punti di una cubica a coefficienti razionali è dedotto 

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