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TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 158 
razionalmente dai punti razionali A, Ag... A, quando è univoca- 
mente determinato mediante intersezioni della cubica con curve a 
coefficienti razionali, completamente definite dai punti 4}, 4g,..., 4, 
e dai valori (razionali) di un certo gruppo di coefficienti che vi 
compaiono come parametri; per assegnare i valori di questi 
parametri costringeremo generalmente la curva a passare per 
altrettanti punti razionali fissati arbitrariamente sul piano. 
Riferiti i punti della cubica ad un parametro ellittico, per 
modo che la somma dei valori del parametro in tre punti alli- 
neati sia nulla, a meno di periodi, si chiamino 0; 0g ...0, le 
coordinate ellittiche di A, Ag... 4,. 
Se una curva a coefficienti razionali d'ordine v passa per 
A, Ag... do, taglia ulteriormente la cubica in un gruppo razio- 
nale di 3v—p punti di cui la somma delle coordinate ellittiche 
sarà (a meno di periodi (!)) --(a,{-a,-+-... + 09). E se una 
curva d’ordine u passa per questo e per altri gruppi razionali 
determinati analogamente mediante curve d’ordine v', v”/, ... pas- 
santi pei gruppi di punti razionali A,' Ag"... A'g, A Ag"... Ag, .. 
di coordinate ellittiche a,' ay’ ... 0'o', 04" ..., taglierà ulteriormente 
in un gruppo razionale di 3(u—v—vw—v"—..)+p+p"+p"+... 
punti, in cui la somma delle coordinate ellittiche sarà (a, + 09+... 
CATIEEEIiArE EEE e) 
Se infine questa curva sarà stata obbligata ancora a passare pei 
punti razionali B, B»...Bg aventi le coordinate ellittiche 8, 83 ...86, 
il numero dei punti del gruppo razionale residua intersezione 
sì ridurrà a 5(u—v—-v'—...)+p+p+p"+..—-0 e la 
somma dei valori della coordinata ellittica nei punti di esso a 
(014-024... 4-09) + (0,4 09'+...+-0'g) +... — (B1+B2+.. +80). 
Il ragionamento si prosegue in modo evidente ; si osserverà che 
nulla vieta di far coincidere un qualsiasi numero di punti A e B, 
onde, considerando che p, p', p”’, ... © sono precisamente i numeri 
dei termini nelle parentesi dell'ultima somma, si potrà concludere 
che se un gruppo razionale di k punti della cubica è dedotto ra- 
zionalmente dai punti razionali- Ax, Ao, ...,A,, la somma delle coor- 
dinate ellittiche dei suoi punti è una combinazione lineare a coef- 
ficienti interi delle coordinate ellittiche axas ...0, di questi punti, tale 
(') Questa condizione, a meno di periodi, sarà sempre sottintesa parlando 
di coordinate ellittiche. 
