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che la somma algebrica dei suoi coefficienti è congrua a k rispetto 
al modulo 3. In particolare, facendo k = 1, Za coordinata ellittica 
di ogni punto razionale della cubica, dedotto razionalmente dai punti 
A; Ag... A, ha la forma Xp;a, colla condizione Vp,= 1 (mod. 3). 
È importante rilevare che quest’ ultima proposizione s’in- 
verte e l’inversa possiede ancora una determinazione maggiore 
che la proposizione precedente: tutti è punti la cui coordinata 
ellittica ha la forma Xp;a; (con Xp, 1 (mod. 3)) si deducono 
razionalmente dai punti A, As... A,; e per tal deduzione basta la 
costruzione di tangenziali e di terze intersezioni della cubica con 
rette congiungenti due suoi punti, operate sopra î punti iniziali 0 
sopra punti già dedotti da essi mediante costruzioni di questa me- 
desima natura. Siano infatti A, A... Ag B; Bs... Bo punti, distinti 
o non, di coordinate ellittiche rispettive a, a, ... 98, Bs ... Bg e Si 
consideri il punto P avente la coordinata ellittica (a14+-09+...+-0%9)— 
— (BR + 8.2 +...+ Bo), con p—0o=1 (mod. 8); tolto il caso 
di p=1 6=0, in cui il punto considerato è uno dei punti A, 
almeno uno dei numeri p, 0 è "2. Se allora p=2 si conduca la 
retta A, 4, (tangente in A;, se i due punti coincidessero) e si 
chiami B,' il terzo suo punto di intersezione colla cubica; la sua 
coordinata ellittica sarà 8,' = — a; — 0, onde la coordinata di P 
potrà scriversi (0; +... + ao) — (814 824... + Bo +81). Del 
pari se 0-2, si chiami A,’ l’ulteriore intersezione della retta BB. 
colla cubica, la cui coordinata ellittica sarà ay = — B, — 86; 
l’espressione della coordinata di P diverrà (a, +a,+-...4-09+0,')— 
— (823 +..+ 86). Nell’uno e nell’altro caso il numero dei punti A 
e B mediante le cui coordinate si esprime quella di P sarà di- 
minuito di 1 (mentre evidentemente la somma algebrica dei 
coefficienti della combinazione lineare si sarà conservata = 1 
(mod. 3)); mediante l’applicazione ripetuta del procedimento si 
giungerà infine alla costruzione del punto P partendo dai punti A 
e B, mediante le .sole costruzioni lineari enunciate. 
11. — Applicando i risultati precedenti al caso in cui sì 
parta da un unico punto razionale A, di coordinata ellittica a, 
si ottiene che tutti e soli è punti della cubica. che si deducono 
razionalmente dal punto A corrispondono alle coordinate ellittiche 
della forma (3n + 1)a, dove n è un: numero intero, positivo 0 
negativo. Il numero di questi punti è finito quando è finito il 
