TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 757 
L’aggregato dei punti razionali della cubica genera quindi, 
per chiusura, un aggregato perfetto: ogni punto della cubica che 
non appartenga a questo è interno ad un segmento di punti che 
tutti non gli appartengono: se questo segmento non riempie tutto 
un ramo della cubica, ed ha quindi estremi, ognuno dei suoi 
estremi è punto di condensazione solo a destra o solo a sinistra 
dell’aggregato dei punti razionali. Ora dimostreremo che tali 
punti non possono esistere, cioè: Ciascun punto limite di punti 
razionali è punto di condensazione così a destra come a sinistra 
del loro aggregato. Nell’aggregato perfetto ottenuto per chiusura 
dall’aggregato dei punti razionali, esistono infatti infiniti punti 
di condensazione a destra e a sinistra dell’aggregato medesimo: 
sia allora C uno di questi punti il quale non sia tangenziale 
del punto B arbitrariamente scelto in detto aggregato perfetto, 
nè abbia B per tangenziale. La retta BC taglia ulteriormente 
la cubica in un punto A avente da B e da C una distanza 
finita; se B' e C' sono punti razionali sufficientemente prossimi 
a Be C, la B'C' taglierà ulteriormente la cubica in un punto 
razionale arbitrariamente prossimo ad A: dunque anche A è 
punto limite di punti razionali della cubica. Si possono ora 
determinare intorni di 0 e di A sufficientemente ristretti perchè 
il rapporto tra la distanza di due punti dell’intorno di C e la 
distanza delle loro proiezioni nell'intorno di B fatte da un punto 
qualunque dell’intorno di A resti compreso fra due limiti finiti 
Lel (L>I). Siano C' e C” due punti razionali dell’intorno di C, 
da parti opposte di C e le distanze C' C e C" C siano d' e d”. 
Si scelga A, razionale, sufficientemente prossimo ad A perchè 
la distanza di B dal punto B,, ulteriore intersezione della cubica 
colla A; 0, sia <d'l e <d"/. Siano B;' B;'' le proiezioni di C° e C! 
da A, (quindi punti razionali della cubica); cosicchè: 
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B;' e B;'" saranno da parti opposte di B,, e, a causa delle 
disuguaglianze ora scritte, anche da parti opposte di 5, e di- 
stanti da B rispettivamente meno di d'(L+/) e d"(L4-2). 
Facendo tendere è’ e è” a 0 si ottiene che il punto B è punto 
limite di punti razionali così a destra come a sinistra. 
Ne risulta l’enunciata densità dell’aggregato dei punti razio- 
nali sopra ogni ramo su cui tali punti esistono. 
