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È chiaro d’altra parte che se un punto razionale esiste sul 
ramo pari della cubica, uno ne esiste pure sul ramo dispari, 
vale a dire il tangenziale del primo. 
14. — La precedente discussione ci dà già una considere- 
vole nozione sulla distribuzione dei punti razionali sulla cubica 
razionale. Ma i problemi che ancora si pongono al riguardo sono 
numerosi e pieni d'interesse: invero il solo elemento considerato 
fin qui è l’esistenza di infiniti punti razionali, punti i quali po- 
trebbero ben tutti dedursi razionalmente da uno solo di essi. 
Ora questa derivazione d'una serie illimitata di punti da uno 
precedentemente noto esaurisce l’aggregato dei punti razionali 
della cubica? È facile vedere che così non sarà generalmente: 
per lo meno, sempre quando dalla razionalità di un punto di 
coordinata ellittica a si è dedotta la razionalità di tutta una 
serie compresa nella formola (3 4 1)a dovrà nascere il dubbio 
che a medesimo sia multiplo di una coordinata RE appar- 
tenente essa pure ad un punto razionale da cui A si dedurrebbe 
razionalmente, ma non viceversa. Ma ci si presenteranno casì 
in cui questa incompletezza della serie dei punti razionalmente 
dedotti da uno noto è più fondamentale. 
Da considerazioni di questa natura il Sylvester prima, il 
Poincaré poi, sono stati indotti a introdurre un elemento di 
classificazione delle cubiche razionali che quest’ultimo chiamò 
il rango (*): ma secondo la definizione adottata da questi autori 
il rango non risulta invariante per trasformazioni birazionali 
a coefficienti razionali, potendone esser mutato di una unità: 
perciò noi modificheremo leggermente tal definizione: sì consi- 
deri una qualunque delle cubiche equivalenti alla data ed aventi 
un flesso razionale: se è possibile determinare sulla cubica un 
gruppo di punti razionali diversi dal flesso e tali che nessuno di 
essi possa dedursi razionalmente da altri punti del gruppo e dal 
flesso, ma ogni altro punto razionale della cubica possa ottenersi 
in tal modo, tal gruppo si dirà Una BASE DELL'AGGREGATO DEI PUNTI 
RAZIONALI DELLA CUBICA ; il numero dei punti di essa si dirà il RANGO 
(!) Porncaré, l. c., p. 171. Il Sylvester lo chiamò dase: si confronti al 
riguardo Lucas, “ Nouvelles Annales ,, (2), 17, p. 509. 
