TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 759 
DELLA cuBICA. Se la cubica non possiede, oltre il flesso, altri 
punti razionali sarà di rango 0. Si noti che non si può per ora 
affermare che ogni cubica possegga un rango (1). 
I punti razionali di una cubica di rango p sono allora quelli 
la cui coordinata ellittica può scriversi: 
Q 
=_\ 
mA + Magg e rela — Mo do ss 4 VYna, (2) 
1 
dove m;,3,..., #9 sono numeri interi qualunque e d,, d3,..., do 
convenienti coordinate ellittiche, razionalmente indipendenti, fisse 
per la cubica e per tutte quelle equivalenti ad essa (e preci- 
samente sono coordinate ellittiche dei punti d’una base sopra. 
una di queste cubiche, avente flesso razionale cui si sia attri- 
buita la coordinata 0), mentre le », sono interi fissi per cia- 
scuna cubica del sistema di cubiche equivalenti. 
Cubiche a birapporto razionale. 
15. — Come primo avviamento allo studio dei problemi 
che provengono dalla considerazione di tutti i punti razionali 
d’una cubica, svolgeremo alcune considerazioni sulle cubiche a 
birapporto razionale, di cui sia noto un punto razionale. 
Supporremo la cubica trasformata razionalmente in una in 
cui il punto razionale noto sia un flesso e sia il punto a=y=0, 
cosicchè l'equazione prenda la forma: 
(1) ee + apgz(ey) = 0. 
Se si suppone inoltre che la cubica non sia armonica, assegnato 
. Ca La Az x Xi x 
un valore % del birapporto (0 sa al; ove —-, —®, — sono le 
Ur Ya Y3 Yi Ya Y8 

(4) Può cioè dubitarsi, sia che esista sulla cubica una base costituita 
di infiniti punti razionali: si potrebbe dire allora che il rango è infinito; 
sia che non esista alcuna base in quanto che, fissato un qualunque gruppo 
di punti razionali, i suoi punti si possano dedurre razionalmente da altri 
senza che questi si ottengano razionalmente dal gruppo fissato: è ciò che 
avverrebbe se ogni punto razionale fosse tangenziale d'altri punti razionali. 
(?) Da questa espressione risulta immediatamente l’invarianza del rango 
per trasformazioni birazionali della cubica. 
