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radici di gp = 0, queste radici sono univocamente determinate; 
esse sono quindi funzioni razionali di % e dei coefficienti di @g: 
nel caso presente sono dunque numeri razionali. Vale a dire 
che ogni cubica a birapporto razionale, la quale possegga un punto 
razionale e non sia armonica possiede sempre altri tre punti ra- 
zionali: supposto che il primo punto sia un flesso, questi altri 
sono i punti di contatto delle tangenti da esso alla cubica. 
Più generalmente, e per le stesse ragioni, ad ogni punto 
razionale della cubica se ne aggruppano altri 3, tutti razionali, 
e sono i punti che con quello hanno comune il tangenziale: 
questi nuovi tre punti si deducono d'altronde razionalmente dal 
primo considerato e dai punti di contatto delle tangenti uscenti 
dal flesso. 
Se invece la cubica è armonica dall'esistenza del primo punto 
può solo indursi come necessaria l’esistenza di un secondo punto 
razionale sulla cubica. 
16. — Supponiamo di restare nel caso generale in cui 
î 0 x S 3 - k 
esistono tre ulteriori punti razionali: si ponga & = # (ki; ks 
"2 
interi primi fra loro), e si scelga il sistema delle coordinate in 
modo che i tre punti di contatto delle tangenti dal flesso siano: 
a) III ARENA) y=ksa, a=0. 
L'equazione (1) prenderà la forma: 
(2) axx2° + asy(y — kxx)(y — ksa)=0 
dove a, e 4, sono interi (positivi o negativi) primi fra loro 
(5 
esi 
La proposizione generale del n. 9 ci permette di affermare 
che saranno equivalenti tutte e sole le cubiche (2) in cui il pro- 
dotto 4,4, possiede lo stesso massimo fattore non quadratico, 
e sì possono quindi supporre a, e «, liberati dai loro fattori 
quadratici. Si ritrova d'altronde più facilmente questo fatto con 
una considerazione diretta: si chiamino infatti a'?, a''? i fattori 
quadratici di a, e @s rispettivamente, a’, a'" i fattori non qua- 
