36 GUSTAVO SANNIA 



Si dimostra che la serie 



Prs = hn P.i + è,2 3,2 +- • • • (^. s = 1, 2, . . . , w) 

 è assolutamente convergente ed il determinante di ordine n 



I P\l Pl2- ■ ■ Più i 



Pn P22 



Pin 



Pai Pu2 



Pn 



si chiama il prodotto delle due matrici (11) e (12). Si dimostra 

 pure che: la somma dei prodotti dei minori di ordine n di (11) 

 per i corrispondenti minori di ordine n di (12) è una serie asso- 

 lutamente convergente che ha per somma P,,. 



Ciò premesso, dimostriamo il 



Lemma. Se in un determinante infinito normale A si sostitui- 

 scono gli elementi di u orizzontali (verticali) con numeri formanti 

 una serie assolutamente convergente, il nuovo determinante (è ancora 

 normale e) moltiplicato per A"~^ è eguale al determinante di or- 

 dine n che è il prodotto delle due matrici infinite di n linee for- 

 mate, l'una dai complementi algebrici degli elementi soppressi in A, 

 l'altra dai numeri sostituiti. 



Evidentemente possiamo sempre supporre che le n orizzon- 

 tali di A, delle quali si parla nell'enunciato, siano le prime n. 



Sostituendo agli elementi delle prime n orizzontali di A ordi- 

 natamente i numeri della matrice (11), si ottiene il determinante 



hi bi2 



(13) 



D.-= 



bnl bni 



a 



a. 



+ 1,1 "*» + l,2 

 ^•h + 2,1 <*»4-2 2 



Per ipotesi la serie 



Sé., (r=l,2, ...,w; s=l,2, ...) 



