ESTENSIONE DI TEOREMI DI SYLVESTER E DI HADAMARD, ECC. 71 



finito, esistono anche minori infiniti (*): ed è relativamente a 

 questi minori che il teorema di Sylvester sussiste quasi inte- 

 gralmente. 



Consideriamo il minore di ordine p 



A 



r,s, 



. A 



fìSp 



N = 



Ar 



dell'aggiunto di A. che vale 



(8) N={—Ì)^A"-'- Ai''''''' 



ove e ha il valore (7). 



(*) Gli elementi di A comuni alle orizzontali di posto r, , ..., Vp e alle 

 verticali di posto Si, ..., Sp formano un minore (finito) di ordine x> ^^ ^'> 

 quelli comuni alle rimanenti orizzontali e verticali formano un determi- 

 nante infinito normale che suol chiamarsi un minore infinito di ordine p 

 di A e che si indica con 



^(r.,r„...,rp\ 



\Sl, S2, . . ., Spi 



I due minori si dicono complementari fra loro ed uno qualunque di 

 essi, cambiato di segno se 



(7) 



e = r, + . . . -f- rp + .«1 + . . . + Sp 



è dispari, è il complemento algebrico dell'altro. In particolare, il comple- 

 mento algebrico del minore di prim'ordine a,-s è 



Aggiunto (o, impropriamente, reciproco) di ^ è il determinante infinito 



Au ^12 •• 



il quale, in generale, non è normale, anzi è divergente. Però vale sempre 

 il teorema: un minore finito di ordine p dell'aggiunto di A è uguale al coni- 

 plemento algebrico del corrispondente minore di A moltiplicato per AP~^ {come 

 nei determinanti ordinari). 



Per tutto ciò cfr. H. von Koch, loc. cit., e T. Cazzanioa, " Annali di 

 Matematica ,. 1897-98. 



