SOPRA IL CALCOLO TEORICO DELLE DEVIAZIONI, ECC. 347 



golarità locali di massa, premettiamo la dimostrazione di una 

 formola di Lagrange (^). 



Sia V la funzione potenziale dovuta ad una distribuzione 

 superficiale sopra una sfera di raggio a ; i) la densità in un 

 punto A della sfera; si deve dimostrare che 



(38) V. + 2a(|^)^= — inaD , 



dove Tv è il valore di /' in A, e i~-]^ è il limite cui tende 



- \ ut' Il 



la derivata -'— presa secondo il raggio vettore quando il punto, 



dall'esterno, si approssima indefinitamente ad A. 



Per dimostrare la (38), il modo pili semplice è quello di 

 cercare, con metodo analogo a quello tenuto nel n*^ 5, una fun- 

 zione V armonica dello spazio esterno alla sfera Z di raggio a, 

 la quale, insieme colla sua derivata normale, debba, sulla super- 

 ficie Z, soddisfare alla equazione: 



(38) /A- + 2r/(|^.)_^=-4TTr./>, 



dove D è una certa funzione assegnata dei punti della sfera. 

 Per questo osserviamo che, posto : 



X 



òv 



v^2r f =:2|./r-f (Vr), 

 or or 



la A'^ è funzione armonica dello spazio esterno alla sfera, e che 

 della X sono assegnati, per la (38), i valori superficiali. Per la 

 formola di Poisson avremo dunque: 



(39) 2|/r ^ [iVr] = — (r^ — a^) { ^^ di. . 



2^rj^{cVr) = -{r^-a^)l^, 



(M " Journal de l'École polytechnique „, T. Vili. La dimostrazione di 

 Lagrange suppone che la densità superficiale D ammetta la derivata se- 

 condo ogni direzione nel punto che si considera. Per la storia e la biblio- 

 grafia relativa a questa equazione, veggasi: Todhunter, A history of the 

 jnath. theorie.s of Attraction, etc, voi. Il, chap. XXX, p. 253 e seg. 



