348 PAOLO PIZZETTI 



Ora si verifica facilmente che, posto al solito 



p2 r= «2 _j_ ^.2 — 2.ar cos'f. 

 si ha : 



h i^J^\ f'^ — '>'^ 



òr \ p ) 2p^r 



Quindi la (39) può scriversi : 



f (rl/r)-^f \|/;-f^/l/ 

 ()r ^ òr ì ' " 



e integrando: 



«, = j ^- (^I + 4- , 

 ' ^ Ir 



dove E è funzione dei soli angoli (9, uj) che fissano la direzione 

 del raggio vettore. Se si pone la condizione che la v sia una 

 funzione potenziale, essa dovrà a distanza infinita divenire 



infinitesima come , , o perciò occorre che la 2 sia nulla, sicché la 



funzione armonica /; dello spazio esterno che, in superficie, sod- 

 disfa alla (38) non è altro che la funzione potenziale esterna 

 di una distribuzione superficiale sferica con densità generica i>. 

 L'equazione di Lagrange è così dimostrata. Com'è noto, affinchè 



la derivata (-!~)v esista nel punto A, occorre che, in quel punto, 



la densità D non solo varii con continuità, ma ammetta il rap- 

 porto incrementale finito, in ogni direzione, ossia che, detto Tf 

 il valore della densità in un punto B la cui distanza da A sia /, 

 si abbia: 



D' — D 



dove h è una quantità finita. 



<h, 



8. Forinola di Helmert. — Ritornando alle ipotesi dei nu- 

 meri 2 e 3, ammettiamo che gli scostamenti fra la superficie *S'i 

 (Geoide) e la S (superficie di riferimento) e le conseguenti ano- 

 malie della gravità siano dovute ad un sistema di eccessi e 

 difetti di massa rappresentabili con uno strato superficiale di 

 densità variabile (positiva o negativa) D distribuito sopra la su- 

 perficie S, 0, ciò che è Io stesso, nel nostro ordine di appros- 



