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mediante la somma dei termini corrispondenti ad indici mul- 

 tipli di un certo intero a (in pratica spesso a = h od «=10), 

 cioè mediante la somma: 



(P) fo^fa-\-f{2a)^... 



più r incremento di una serie infinita ordinata secondo le suc- 

 cessive differenze della seconda successione moltiplicate per coef- 

 ficienti numerici indipendenti dalla natura della funzione f, 

 ma dipendenti dal numero a ; V incremento di questa serie è 

 relativo al primo ed all'ultimo termine della variabile. 



Ma il Lubbock, che espose per primo la formula in " Cam- 

 bridge Philosophical Transactions „, a. 1830, pag. 323, e gli scrit- 

 tori di trattati d'attuarla che l'hanno riportata chiamandola col 

 nome dell'autore, non si sono mai occupati della convergenza 

 della serie ; inoltre, siccome la serie in pratica si tronca dopo 

 pochi termini, dando un'approssimazione sufficiente, nessuno ha 

 dato un'espressione pel resto. 



Secondo 1' " Encyklopàdie der Mathematischen Wissen- 

 schaften „, la formula è ancora " oIiìk^ Eesfglied „. 



Io mi propongo appunto in questa nota di esporre la for- 

 mula del Lubbock, in modo da condurre ad un'espressione del 

 resto. 



Dimostrerò poi direttamente una nuova formula che si pre- 

 senta come caso limite di quella del Lubbock col resto. Appli- 

 cherò questa al calcolo del valore attuale di una pensione vita- 

 lizia, e l'una e l'altra al calcolo della somma dei reciproci dei 

 quadrati dei numeri interi da 100 a 199. 



I. 



Per semplicità di scrittura, chiamo fi la funzione f{ax) in 

 cui varia x, cioè pongo: 



fiX ^=f{ax). 



Si ha la formula data da Mercator nel 1668 {Formulario 

 Mathematica di Peano, tomo V, pag. 131): 



f,x = /\0 + XÙ.U) + ^^Ij^^^- L%0 + . . . 



