RESTO NELLA FORMULA DI LUBBOCK 3fll 



la quale sussiste per x intero e positivo; il 2" membro è un 

 polinonìio finito. 



Il Lubbock suppone in questa formula x fratto, precisa- 

 mente della forma x a, ove x e un intero, e nulla aggiunge 

 sulla validità della formula. Io comincio col dare un'espressione 

 del resto di questa formula. 



Teorema, 

 /eqFNo . a, ;<€Ni . j:-6No . . 

 /'.f ~v I G{x a,r)ù.'[f{ax) x]0 \ ì\Q-n { e dx (^/^ + l)«"-^lMedA"+V■•No 



** Indicando con /' una quantità funzione dei numeri interi, 

 cioè essendo 



una successione infinita di quantità, se a ed n rappresentano 

 due interi positivi, ed a:^ è un intero positivo o nullo, allora la 

 differenza fra il valore fx e la somma dei primi w-f-l termini 

 nello sviluppo colla formula di Mercator applicata alla funzione 

 f^x =^f{<ix) (cioè alla successione (P) sopra considerata), è una 

 quantità che ha la forma del coefficiente del termine successivo, 

 cioè C(x/a, n -\- 1), moltiplicato per rt""*"^ e per un valore medio 

 fra quelli assunti dalle differenze di ordine /< -f- 1 della fun- 

 zione /" (cioè della successione (a)) „. 



Dimostrazione, Chiamo K la differenza fra fx ed i primi 

 « -j- 1 termini dello sviluppo secondo le A di f^x, divisa per 

 0(x/a, n + 1), cioè pongo: 



fx = AO + -V ^A*) + e [l ^, 2) AYiO + . . . 



. . . + C( J^ , n] A'Y'iO + C ( i^' , >i -I- 1 ) K. 



Considero ora la funzione di z: 



,jz = fz - ffi - f A/iO - C (-^ , 2) AYiO - . . . 

 ...-0(|,«)A"AO-0(f.» + l)K 



che è ciò che diventa il primo membro dell'eguaglianza prece- 



