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dento quando si trasporti tutto nel primo membro, e si legga z 

 al posto di X. Si ha: 



f/r ^ 0. ..7O = 0, (ja = 0. <j{:l(x) — 0, ... , (j[nu) ~ 0. 



Se /", e quindi r/, fosse una funzione reale di variabile con- 

 tinua, qui si potrebbe applicare n -\- 1 volte il teorema di Rolle, 

 e si troverebbe che la derivata d'ordine n -j- 1 sarà nulla per 

 un valore medio fra quelli considerati, cioè si ricaverebbe: 



da cui si ha per K il valore «""^D'+Y/^ , ove ii è un valore 

 medio fra i precedenti; si avrebbe cosi la formula di interpo- 

 lazione per le differenze finite data dal Mercator nel 1668, come 

 sopra si è detto, estesa da Newton nel 1686 a valori qualunque 

 della variabile non necessariamente in progressione aritmetica, 

 e completata con un resto dato da Cauchy. La dimostrazione 

 precedente di questo resto è stata trovata contemporaneamente 

 da Schwarz e da Stieltjes nel 1882 (vedi Formulario Matheiìiafico. 

 tomo V. pag. 306, 307). 



Ma qui /' è una successione di valori coriispondenti ai va- 

 lori interi della variabile, e non si può parlare della derivata. 

 Allora applicherò un teorema analogo a quello di Rolle, enun- 

 ciato e dimostrato per la prima volta dalla Dott. Piof. M. Fey- 

 roleri nella sua nota " Relazioni fra calcolo delle differenze e 

 calcolo differenziale ,, (" Atti della K. Accademia delle Scienze di 

 Torino ,,, 13 giugno 1909). cioè: 



" Se la funzione f ha n elementi nulli: fa.fò^fc^ ...,fk. ove 

 a <^h <i e <C ...<^/i-^ lo è un valore medio fra quelli assunti 

 dalla successione A"~^f per i valori da a a A- — ìi ~{- ì „. 



Segue che è un valore medio fra quelli assunti dalla 

 successione A"'^^g per i valori da al piìi grande dei due nu- 

 meri X — n '— l, Ila — 71 — 1 ; brevemente, è un valore medio 

 fra quelli assunti dalla successione A"^'gr da in poi, ossia nel 



campo No ' 



0€MedA"+ir/'No. 

 Ma si ha: 



