RESTO NELLA FORMULA DI LUBBOCK 393 



(perchè k differenza di ordine n -{- l di un polinomio intero di 

 grado «4-1 è uguale al fattoriale di n -\- ì per il coefficiente 

 del termine di grado piìi elevato), e qaindi: 



OeMed(A"+irNo— J^i k) 



da cui si ricava appunto: 



Ivea"+iMedA"+i/''No. 

 Il teorema è cosi dimostrato. 



II. 



Dimostro ora la formula di Lubbock. in modo che ne ri- 

 sulti il resto: 



Nella formula ora dimostrata: 



f.v=f,() + l AAO + C [l, 2) A'YiO + ... + C i^l , n) A'/.O +. 



(ove, nell'ipotesi x ^ uà, u è un valore medio fra quelli assunti 

 dalla successione A"+i/" per i valori da ad na — n — 1) faccio 

 variare x da ad a — 1, e sommo. 



Poiché i coefficienti degli v hanno segno costante, la somma 

 dei resti sarà eguale alla somma dei valori di C (.r/r/, n -}- 1), 

 moltiplicata per a"^'^ e per un valore medio degli «, cioè per un 

 valore medio fra quelli della successione A" ' i/" da ad iia — n — 1; 

 quindi, indicando ancora con n un tale valore, si ha: 



^fx = aA<> + AAO V ^ + A'ViO V C(f , 2) -f ... 4- 

 -f AYiO 2 e (^, v) + a"^^u V C (^, n + l) 



ove i X si intendono estesi da (* ad « — 1. 



I coefficienti di /"lO, AfiO, AYi", ..., n5"+^« sono i coefficienti 

 delle potenze di z nello sviluppo di: 



i 4- (1 -f zY + (1 + 4' + ... 4- (1 + ^F ; 



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