RESTO NELLA FORMULA DI LUBBOCK 405 



ove Cr è il limite di k,.'a per a ^ x. cioè è il coefficiente di z" 

 nello sviluppo di ^/log(l-}-2), ed u è un valore medio fra quelli 

 che assume la derivata di ordine n -\-\ dà f nell'intervallo da 

 ad m + « — 1 . 



I numeri e soddisfano alle condizioni: 



etc, etc. 



Dimostrerò questa formula per via diretta, senza che oc- 

 corra supporre la continuità di /", la quale ipotesi invece è ne- 

 cessaria quando si ottenga la formula passando al limite in 

 quella di Lubbock col resto. Inoltre la dimostrazione diretta dà 

 una semplice espressione dei numeri e. 



Siano n ed m due numeri interi positivi, e sia f una fun- 

 zione definita assieme alla sua derivata di ordine n-\-\ in tutto 

 l'intervallo continuo da' ad n -\- m — 1. Allora, se re è un va- 

 lore qualunque di tale intervallo, la formula d'interpolazione per 

 le differenze finite data dal Mercator e completata col resto 

 dato da Cauchy (I) ci dà: 



fx=fO + xAf()-{-C{x, 2)A2/'0 -f ...^C{x, 7iWfO + C{x, u + 1)1)"+^^ 



ove z è un valore dell'intervallo considerato. Brevemente: 



fx = /"O + V [C [x, r)ò:fi) I r, \-n\ -|- C (.r, ìt + l^-^fz ■ 



Integro fra i Jimiti ed 1, e pongo: 



c,. = ^G{x,r)\xAr\]. 

 Si avrà: 



S (/•, (r 1) = fi) + v(c,.ArO I r, 1-^0 + c,,^iw 



ove u indica un valore medio fra quelli di 1)"*^ nell'intervallo 

 da ad n. 



