406 G. PAGLIERO 



Analogamente: 



Sif, r 2) = A + S (cA-n I r, l-n) + c,,^,H, 

 S(f, 2-3) = /■2 + V (cvAr2 ! /•, V'n) + c,,^,u, 

 etc; 



S[/, {m- irm] = f{m~l) + V [cvA'/Im- 1) | r, l-'n] + c,.+,u„._, 



ove i<,.€MedD"+i/'';-"(>i + r). 



Sommando queste eguaglianze a membro a membro, osser- 

 vando che: 



A'/O + A'/l f- ... + Ay{m — 1) = A'-i/'jM — A'-^fO 



e che la somma degli u si può porre sotto la fornia mu, ove w 

 indica un valore medio fra quelli di 0"+'/" nell'intervallo da 

 ad n-\-m — 1, si ha appunto la (3). 



La formula si può enunciare completamente in simboli cosi : 



7n,ti e Ni ./; D"+Y'€ q F 0" (m-j-n - 1) : reN^ . 0,..(!,.= S| C{x,r) \ a;,0" 1] : o . 



S(/-,(rm)-V|/,o-(m-l)]- 

 -£ [c,(A'"i/-m — A'-i/"0)|r, l'-n] €mc,,+,MedD''+'f'(r{?n + n — 1). 



Essa ha molta analogia colla formula data da Eulero 

 nel 1732 e da Mac Laurin nel 1742, detta formula di Eulero- 

 Mac Laurin, completata col resto da Jacobi nel 1834, la seguente: 



S(f, 0-m) =lfOi-^ [f, l-{m - 1)] + ] fm + 



+ S [^~ ^^^ (^ ! ^^'^"'^'^' ~" ^'^""'^"'^^ ' ''' ^"^'' ~ ^^] + 

 -|- S 1 Barn [x, 2n) I [D2y(/- - x) \ r, 1 -m\ \ x, 0" 1 ( . 



In questa i coefficienti numerici B,.'(2r)! sono i coefficienti 

 di z nello sviluppo di z!{e- — 1), mentre in quella i coefficienti 

 numerici e,, sono i coefficienti di z nello sviluppo di 2 log(l-|-2). 



