ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 463 



La (1) risulta, allora, immediatamente da (a), osservando 

 che aCa — I^a . a — a^. 



Le (2) risultano subito dalla nota regola di calcolo omogra- 

 fico (0. V., p. 18, [7]), che è di continuo uso, 



a(i« A 'y) ^ Ii« • «^ A 1/ — ^ A Kai/ + 1/ A Kax; 



invero applicando a ad N/\x e ricordando che cf^= e 

 che Ka = a si ha 



a(3^A x) = lia.N/\x — ^lV/\ax = J^/\ {ìiO — a)x, 

 Ca(.y A ^) = Ii<^ • ^A i« — <J {^/\^) = ecc. 



Operando con Co nei due membri dell'eguaglianza au=v, 

 applicando la (1) e ricordando che, per ipotesi, u è normale 

 ad N^ si ha subito la (3). 



Da 0. V., p. 60 risulta subito che gradpCcr è nullo; quindi 

 anche la sua componente normale rispetto ad J^, che è GradpCo, 

 è vettor nullo e sono vere le (4) e (4'). 



Si ha (0. V., p. 57, [10]) 



divp ((JiV") = Iia2 4- gradpa X ^ 



che, per essere aJV=0 e per la (4'), dimostra la (5). 



Giova notare esplicitamente che la (4) compendia in un'unica 

 'formula semplicissima le due formule di Mainakdi-Codazzi p*"*), 



C^''") Se -V è vettore unitario parallelo alle rette di una congruenza o 

 di un complesso, allora (Cfr. la mia nota Sulla Geometria differenziale asso- 

 luta , questi Atti, 1910) la rotiV non è nulla e da 0. v., p. 60 si ha 



gradpC — -=;- = rot rotiV 



e rot rot .V, in generale, non è nullo. È molto probabile che i numeri ina ^221 



considerati da G. Sannia in un suo notevole e recente lavoro {Su due forme 



differenziali che individuano una congruenza un complesso di rette, Ren- 



dX 

 diconti ,, Palermo, 1911, t. XXXI) siano le proiezioni di gradpC — sui 



vettori derivate parziali di P rispetto ad u e r; il che semplificherebbe no- 

 tevolmente tutta la trattazione. 



