ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 465 



trice (e quindi costante lungo le normali in F od S alle due su- 

 perfici), la derivata di ii nella direzione iV {normale alla sfera 



in S), cioè ^ iV^, vale zero, e quindi resta dimostrata la (2). 



3, — Siano, cp un numero ed u un vettore funzioni del 

 punto S, e quindi anche funzioni di P. Si hanno le formule 



(1) IgO . Orad.ycp — CaGradncp , aGrad^cp = Gradpcp 



(2) Igcr . div.v n = Iicr . div;. u — h\J^ (^j 



(3) IgCJ . vot.,u = Ii(T . rotp?^ — 2V (^ (jj , 



le quali permettono di calcolare gradiente divergenza e rota- 

 zione rispetto ad S quando siano noti i corrispondenti elementi 

 rispetto a P, viceversa (^). 



Applicando i due membri della (1) del n. 2, con q) in luogo 

 di /i, al vettore arbitrario X, si ha 



dalla quale (0. v., p. 50, [3]; p. 18, [6]) 



X X gradpqp --— {ax) X gt'ad.s-cp = xy( crgrad^qp ; 



ma X è arbitrario, grad coincide con Grad (^) perchè qp è fun- 

 zione di P, e quindi si ha la seconda delle (1) ("). La prima si 

 ottiene operando con Ga nei due membri della seconda (n. 1). 

 Operando nei due membri della (2') del n. 2 con Ij o con 2V 

 e ricordando (0. v., p. 56) le definizioni di div e rot, si hanno 

 subito le (2), (3). 



{*) Rispetto ai metodi algebrici ordinari, con cinque coordinate e nove 

 coefficienti delle tje forme differenziali quadratiche per ogni punto di Z, 

 le formule (1), (2) (non la (3), non considerandosi la rotazione) sostitui- 

 scono la trasformazione degli invarianti rispetto alla 1' forma differenziale 

 in invarianti rispetto alla 8* forma. È utile il confronto tra i due proce- 

 dimenti. 



{^j Cfr. la mia nota Gradiente divergenza (" Atti Acc. Torino ,, 1910). 



(*) Direttamente da 0. v., p. ò'2, [8]. 



