ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 467 



La (5) è nota (cfr. la nota (-)) ed ha forma ordinaria com- 

 plicata. 



4. — Sono anche notevoli le espressioni di Gradcp, divw, 

 Totu, rispetto a P o ad -S mediante due differenziali arbitrari, 

 normali ad JV, dP, bP di P. 



Poniamo, per brevità, 



(a) m = dP/\bPXJS^ 



e supponiamo che per dP e bP non paralleli, il loro verso sia 



tale che 



(6) dP /\bP=mN 



da cui segue, perchè odP = dN, abP = ò^, 



(e) dN f\bN= nil^a . iV. 



Ciò posto, avendo cp ed u il solito significato, si ha 



(1) mGraàpq) = N/\{b(p.dP—d(p.bP) 



(2) m divp u —JVX {dP /\bu — bP/\ du) 



(3) m rotp u = (iV^ A ^P) A ^«<- — (^ A ^^) A^u. 



Non sarà inutile ripetere (^) la dimostrazione di queste 

 formule. 



Essendo Gradpqp normale ad K si lia identicamente, poi 

 sviluppando, 



wGradpcp = m]V/\ (Gradpcp A ^) = ^A ) Gradpq) /\{dP/\bP)[ — 

 = iV^A (Gradpcp X bP.dP— Gradpcp X dT . bP) 



che dimostra (0. v., p, 51. [4]) la (1). 



17 \9A\ l'T. ^ „. 



dP dP 



Se calcoliamo (0. v., p. 7, [3]; p. 17, [2]) l'Ii^ e 2V '^'' 



rispetto alla terna dP, ÒP, IV e ricordiamo che 



%dP=du, §i>P=»u. ^JV = 



{') Sulla rappresentazione , 1. e, n. 5. 



