ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 469 



punto P. Ciò conferma ancora una volta che l'assenza completa 

 di coordinate facilita i calcoli (^). 



401S — i^ alcuni casi è utile considerare un numero qp, o 

 una omografia a, e un vettore u funzioni del punto generico Q 

 del campo a tre dimensioni connesso a Z, funzioni, in generale, 

 non costanti (come si è supposto del n. 4) lungo la normale 

 a Z in P. In tale ipotesi si hanno le formule : 



(1) m gradptt = òa (JV/\ dP) — da {J>r/\ ÒP) f m i^ Jv) JS" 

 (!') m Gradpcp = W/\ (òcp^^P — dq>òP) 



(2) mdivpi* = ^ X {dP/\ òli — òP/\ dii) + mW X ^ -^ 



(3) mvoipu ={Nf\dP)f\òu — {Nf\hP)/\du^mWf\^N. 



Le (2), (3) si dimostrano come le (2), (3) del n. 4 tenendo 

 conto anche dell'ultimo termine. Per la (1) si ha (0. v., p. 57, 

 [10]; p. 47, [7]) essendo a vettore costante arbitrario 



w gradptt X <* = wdivp (Kaa) 



= ^■^X dPl\ ò(Kaa) — JV^X ^PA diKaii) -f 



-h^iV^X^^^^ 

 = Wf\ dP X (Kba)a — N f\ òP X (Kc/a) a + 



= I òa[N/\ dP) — da{jSr/\ òP) + ^(ll -^) J^\ X a 

 che per l'arbitrarietà di a dimostra la (1). 



(') Ecco un cenno del calcolo per ottenere le (2), (3) del n. 3. 

 Applicando la (2) del n. 1, dopo aver commutati X e A si ha, con 

 alcuni calcoli. 



/MI2O . div^jtt = mliO . dìvptl — iV"X ) dP /\ ohu ~ hP /\ odu [ ; 



posto a = -— - e applicando la solita formula (0. v., p. 18, [7]) l'ultimo ter- 

 mine si riduce a wli(aa). 

 In modo iinalogo si ha 



ml^a . rot^M = ml,a . voipU — ] a{N' A dP) A o-^P — <J(2V A ^P) A ^dP\ . 



Occorre ridurre l'ultimo termine a 2wV(aa), il che per calcolo diretto 

 è complicatissimo. Indirettamente, dopo aver notato che il vettore entro ) ( 

 è funzione alternata di dP e &P, si può supporre dP e hP ortogonali ed 

 applicare la formula [4] a p. 24 di 0. v. 



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