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La (1') risulta dalla (1) osservando che 



dcp 

 dP 



iV")3'"=gradp(pX-^^- ^^ 



Giova pure osservare che 



do^ i^\ Ar_ djaN) ^ 

 dP ) ~ dP -^ ' 



perchè (j^=0, e quindi per a2V=0 anche nella (1) manca 

 l'ultimo termine. 



Dalla (1) si può ancora dedurre la (4) e la (5) del n. 1, 

 però con un calcolo abbastanza lungo, e ancora una volta resta 

 provato che l'introduzione delle coordinate complica i calcoli. 



5. — Una notevole applicazione delle formule dei numeri 

 precedenti si ha per la determinazione delle superfici Z^ che 

 corrispondono a I per ortogonalità di elementi; in guisa cioè 

 che, se Pi funzione di P descrive li, si abbia 



dPiXdP=0 



qualunque sia il differenziale (normale ad 3^) d!P di P {^^). 



Si ha il teorema: Affinchè il punto Pi, funzione di P, de- 

 scrim, col variare di P in Z, tma superficie Zi che corrisponda 

 a Z per ortogonalità di elementi, è necessario e sufficiente che per 

 qualsiasi differenziale dP di P si abbia 



(1) dPi = ((piV^+ Grad.s.cp) A dP, 



(^°) Ciò equivale, come è noto, a determinare le deformazioni infinite- 

 sime di Z considerata come flessibile e inestendibile. 



Se e è numero infinitesimo costante, P, è punto funzione di P e si pone 



g = P4-e(P,-0), 

 con la condizione 

 (a) {dQf = (dPf, 



si ha una deformazione infinitesima di X. Osservando che d$ = rfP+erfP,, 

 quadrando e trascurando e* si vede subito che la (a) equivale a 



rfP, XrfP=0. 



