ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 471 



ovvero, il che equivale, 



(V) dP, = (qpTV^A 4- r„ GradpcpAcT) dP, 



essendo qp uno qualunque dei numeri, funzioni di P, che soddi- 

 sfano alla condizione 



(2) divp((p2\^ 4- Grad.s-q)) = , 



ovvero, il che equivale, 



(2') divp (cp^ + ^ CaGradpqp) = . 



Dimostrazione. — Dovendo esser sempre dP^^ normale a dP 

 si potrà porre 

 (a) dP^ = V A dP 



e V sarà vettore funzione di P, ma indipendente da dP, perchè 



dP 



tale è l'omografia — ^ che per la (a) vale, almeno nel piano tan- 

 gente a Z in P, t'A- 

 li vettore v non può esser arbitrario, ma tale che per d 

 e b qualunque si abbia (condizione d'integrabilità) 



hdPi = dbPi, 



condizione che, per la (a) e per la formula che da essa si ot- 

 tiene cambiando d in ò, diviene subito 



òv /\dP~dv. /\bP = {). 



Introducendo l'omografia — e applicando una nota regola di 



calcolo vettoriale, già più volte applicata (0. v., p. 18, [7]), la 

 condizione d'integrabilità assume subito la forma 



h^.dPf\hP-K'^{dP/\òP) = 0, 



0, più semplicemente, ((è) del n. 4) 



(ò) divpv . JV — K ^K=0. 



