ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 473 



vale a dire 



Iia.Gradj.qp /\ rfP— aGrad^qp /\ dP= Gradpqp /\ adP, 

 e in conseguenza 



Grad^cp A dP= ~ CaGradpq) A dP 



= ^^ I IiCT . Gradp (p/\dP~a Gradr qp A dP[ 

 = ^Gradp(p/\odP{^^). 



6. — La funzione qp ora considerata è (a meno del segno) 

 r ordinaria funzione caratteristica, la Verschiebungsfunction di 

 Weingarten. La condizione (2), o (2'), è, sotto forma semplicis- 

 sima e puramente geometrica, l'ordinaria equazione caratteristica. 



Vediamo come si ritrovano facilmente delle note proprietà 

 di qp. 



Dalla (1) del n. 5 (prima forma) si ha 



bPXdPi= {(pJ^']-u)XdP/\bP= m{(pJS'-{-u)XJ^= mcp, 

 dPXòPi=—{^^-\-u)XdPA^P=—'f4'P^^+^^)XJ^=-'m(p, 



(^') Con i metodi algebrici ordinari si esprimono le derivate parziali 

 delle coordinate cartesiane di P rispetto alle coordinate u, v di Gauss in Z, 



mediante E, F, G, D, D', D", X, Y, Z, K (sei formule). Esprimendo la ^ 



ou 



(il che basta) vettorialmente e sostituendo alle lettere E, F...... ora indicate, 



i loro valori assoluti, e cambiando --— in d, dopo lunghi calcoli si ottiene 



Oli 



la (1) (a meno del segno di cp). Operando analogamente nell'ordinaria equa- 

 zione caratteristica si ottiene la (2). Queste riduzioni offrono un notevole 

 esercizio per prendere pratica nei calcoli vettoriali; giovano anche perchè 

 si vedono sparire gradatamente gli elementi algebrici convenzionali e sub- 

 entrare gli elementi geometrici effettivi. 



La dim. delle (1), (2) è completamente diversa dall'ordinaria, nella 

 quale si assegna a priori la qp (Cfr. n. 6), indi da complicate equazioni si 

 ricava, in sostanza, il dP^ e finalmente si trova l'equazione caratteristica. 



