ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE, ECC. 477 



perchè Gradpqp è normale ad JV, esprime che: se qp verifica l'e- 

 quazione caratteristica allora si ha identicamente 



(7) divs (^ Gradp qp j = ~ divp Gradpqp . 



7. — Sia qp un namero funzione di P variabile in Z. Il 

 piano Tr„ parallelo al piano tangente a 21 in P e distante (di- 

 stanza con segno) di qp dal punto fisso inviluppa una super- 

 ficie Zcp. Se indichiamo con P(p il punto nel qjiale tx^ tocca Icp, 

 allora P(p sarà il punto, funzione di P, che descrive, col variare 

 di Pq) in Z, la superficie Zqp. 



L'espressione generale di Pq), mediante qp e gli elenietiti di Z, è 



(1) Pcp=0-^ (p7V^+ Grad.,(p. 



Invero. Essendo Pcp un punto del piano TT^p e tale piano 

 distando di qp da si deve avere 



(P-0)X-^"=q> 



(perchè tt^ è normale ad N) e quindi si potrà porre 



P(p == + qpiV -[- 1* con i* X ^^^= . 



Il vettore ii deve essere tale che la normale a Zq) in P sia 

 (secondo la definizione di Zq,) parallela ad JV; deve cioè essere 



= J\''XdPcp = d(p-{- du X y=dq)-- u X dN, 



il che, per essere o?ZV= dS, esprime appunto che 



u = Grad.vqp 



e quindi la (1) è dimostrata. 



In particolare avendo w il solito significato (n. 3) si ha 

 dalla (1) 



(1 ') P^^,= P=0-ir tvK -\- Grad.s w 



come si è già trovato per altra via (n. 3). 



