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Se (p è la funzione caratteristica di una deformazione infini' 

 tesima di Z, allora, in virtù della (1), V equazione caratteristica 

 ((2) del n. 5) assume la forma 



(2) div;, Pq, ^ . 



Se iv è un altro numero funzione di P, e Pvy ha il signi- 

 ficato stabilito per la (1), allora dalla (2) del n. 4 si ha, e senza 

 calcoli^ 



(3) mqp . divp P^ ■= m^i . divp Ptp , 



ove si è posto 



m<p = dP^ /\ÒP^X ^^ 



La (3) esprime che 

 da divp P^, = segue divp Pq, zzi e viceversa, 



vale a dire dimostra il teorema : se y\) è funzione caratteristica 

 per una deformazione infinitesima di Zq?^ allora qp è funzione ca- 

 ratteristica per una deformazione infinitesima di T.x^, e viceversa. 

 In virtìi della (!') si può nel teorema ora enunciato cam- 

 biare Zq), Xvj, in Z, Zq) e cp, vp in iv, cp. Si ottiene allora un 

 teorema noto (Cfr. Bianchi). Le superfici Z, Zq) diconsi associate, 

 ma possono chiamarsi associate, in generale, Zq), Zqj e studiarne 

 le proprietà di collegamento come si fa per Z e Zq) {^*^). 



(^^) Il teorema particolare per Z e Zq) (dal quale, del resto, si risale 

 facilmente al caso generale), si dimostra ridicendo l'equazione caratteristica 

 alla forma 



[a) (i<'22+</»^)(<Pii + ^^) + ('<'ii + e«;)(qP22+i?fP) — 2(//',2+/"?r)(qp,2+/'qp) = 0, 



che per esser simmetrica rispetto a tv e <p dimostra il teorema. 



Giova confrontare la (a), in un caso particolare, con la (B) del caso 

 generale. 



È anche interessante la riduzione della («) a forma assoluta. Ponendo 

 al posto delle derivate covarianti (Cfr. la nota (^)) i loro valori, lo stesso 

 facendo per e, f, g, e sostituendo d, h alle derivate jiarziali, si ha, ad es., 



"'22 + 'JH' ^ hGrudsw X ^^+ M^-^)' = hNX) bGraÀstv -f trh .VJ 

 = bNX] HwN + Grad.svt') — bw . N{ ^hNX'^P; 



{Vedi seguito della nota a pag. seguente). 



