ALCUNE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA DIFFEKENZIALE, ECC. 479 



11 fatto che y\> è funzione caratteristica per Zqj è, in virtù 

 della (2) del n. 4, espresso anche dalla formula semplice 



(4) N X {dPcp A ^Py\> — òPv A dPH>) = ^ » 



che, per esser simmetrica rispetto a qp e qj, dice anche che cp è 

 funzione caratteristica per l^i, come si era già dedotto dalla (3). 



Se nella (4) si pone al posto di JV il vettore, ad esso pa- 

 rallelo, dJV /\ ò^ e si sviluppano i prodotti, si vede subito che 

 se cp, i|i sono funzioni caratteristiche per Zip, Zqp, allora alle dire- 

 zioni d, ò assintotiche per una superfìcie corrispondono direzioni 

 coniugate per l'altra ; viceversa : se Zq,, T.\^ sono tali che alle di- 

 rezioni d, ò assintotiche per una di esse corrispondano direzioni 

 coniugate per V altra, allora (p, ip sono funzioni caratteristiche 

 per Zijj e Zcp . 



Possono cosi generalizzarsi facilmente note proprietà delle 

 superfici associate {^'^). 



8. — Avendo ancora Pcp il precedente significato, si ha la 

 formula 



(1) -~ — —- = laa . (p((p 4- diV5Grad.s(p) + I2 — ^ — , 



la quale prova che: il limite del rapporto tra due elementi cor- 

 rispondenti di area di Zqj e Z in Pcp e P ha il valore del secondo 

 membro della (1) e dipende da cp. 



operando analogamente per gli altri fattori della (a) ed applicando note 

 regole di calcolo elementare vettoriale la (a) assume, finalmente, la forma 



ha . XX ì (iP'P A ^P— ^P<P AdP[ = 

 che per la (2) del n. 4 dice appunto che 



divpPqo = 



che è la nostra (2) del n. 5. 



Qui risulta assai notevole la complicazione prodotta dalle coordinate 

 e dàlie forme differenziali quadratiche. (Cfr. la (4) seguente). 



(^'') Per ottenere altre proprietà delle superfici Zqp e loro combinazioni 

 lineari (baricentriche) giova osservare che per a, b, costanti si ha 



P«{p + Pbxv = (1 — « — è) + rtPrp + bPx\, . 



