SOPRA UNA CLASSE GENERALE DI VIBRAZIONI, ECC. 



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Per ricercare i tipi di vibrazioni che rientrano nelle (8), 

 bisognerà esaminare le funzioni a, che soddisfano alle equa- 

 zioni (5). Come è ben noto, devesi allora considerare l'equazione 

 secolare: 



Ali — h hi2 ••• fh.i 



(7) 



he, 



ho9 — h 



h,a 



h,. 



h. 



h 



= 



In corrispondenza delle sue radici semplici positive o nega- 

 tive si hanno come soluzioni del sistema (5) degli esponenziali 

 delle funzioni trigonometriche; in corrispondenza di coppie di 

 radici imaginarie coniugate si hanno soluzioni del tipo: 



e^'cosò^ 



e'^^ fienbt , 



ed intìne in corrispondenza delle radici complesse coniugate 

 multiple della (7) si hanno soluzioni del sistema (5) del tipo : 



(r, V 



., t, 1) e"'cosbt; {V , t''-\ ..., t, 1) e'^^senò^. 



È dunque pressoché pvvio, che le vibrazioni più generali 

 della forma (3) corrispondono al caso speciale in cui la (7) am- 

 mette radici imaginarie multiple. Le vibrazioni di cui ora ci 

 occuperemo potranno essere definite perciò nel seguente modo. 

 Consideriamo le 2 (« -j- 1) funzioni del tempo; 



(8) 



— ^^hn 



e^'''^ coskt 



fe-'''^GOskt ... a„ = t'*e-'''-^ coskt 



( «0 = 



} Po = «"^"'senA-^ fì^ = te-'''^ senkt ... 3„ = t"er'''' senH 



Esse soddisfano al seguente sistema differenziale lineare 

 del 2<^ ordine a coefficienti costanti: 



(fa,, 

 df 



= r{r—ì)ar-i 



(9) 



d%. _ 



di' 



2kh-(x,._, 4- {h^ — k'^) a,. — 

 — 2/-A-^._i + 2/i2A-p, 



2kro,.^i — 2hH-a,^ r{r — 1)P,.. ^ 



