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In particolare, per ti = P — 0, con punto fìsso arbi- 

 trario, si ha, ordinatamente, nei nove casi considerati, 



(A') V(^,^*) = — 2Va; ^'i^,u) = 2v; M^(|a, w) = — rotv 

 (B') Y(n,-w) = Iia; M^(^, w) = 0; "¥ {\x, u) = àìv v 



(C) Y(^, «f) = t'; Y(m. //) = 2Va; V(m,w) = grada. 



Le formule precedenti si deducono tutte facilmente dalle 

 (3), (4) e da regole ben note di calcolo omografico C') C'"). 



L'importanza pratica dei nove casi considerati si rende ma- 

 nifesta osservando che le funzioni O, Y danno i quattro opera- 

 tori differenziali del primo ordine grad, rot. div, Rot e i due 

 operatori differenziali del secondo ordine A', A ben noti p). 



C) Per l'operatore Rot, cfr. la mia Nota, Sopra un nuovo operatore dif- 

 ferenziale per le omografìe vettoriali, " Rend. Lincei ,, v. XX, s. 5% p. 641. 



(ibts^ Per il valore di H' (|n, u) nell'ultimo caso C, cfr. la mia Nota, Sul- 

 l'operatore di Laplace per le omografìe vettoì'iali, " Rend. Lincei ,, v. XX, s. 5*, 

 1911, 2* nota a p. 12. 



(^) Introdotte le coordinate cartesiane x, y, z di P, la (3) del n. 1 dà 



<t>a* =V^*+c\? + r~A:, ovvero. 0= * + >;;^ + ^^' 

 ì)x òy òz nx oy oz 



e così i nove operatori O delle A, B, C hanno a comune un tachigrafo cartesiano, 

 sebbene siano operatori geometrici hen distinti. Ciò non può far meraviglia, 

 perchè una volta introdotte le coordinate cartesiane si distruggono le pro- 

 prietà geometriche degli enti che si considerano per ottenere proprietà di nu- 

 meri il cui carattere invariantivo esprime l'esistenza di una proprietà geome- 

 trica, che è però necessario trovare non essendo essa espressa dall' itirariante. — 

 Ciò che deve recar meraviglia è come si possa ancor sostenere che, ad es., A 

 e A' costituiscono un unico operatore, cioè A = A', perchè hanno a comune 

 l'operatore analitico di Laplace. Questa forma di ragionamento applicata al 

 tachigrafo ^, dà come conseguenza 



grad = rot = A' ; div -= Rot = A 

 e Vassurdo non può essere maggiormente evidente perchè un operatore 

 differenziale del 1° ordine non potrà mai esser identico ad un operatore 

 diff'. del 2° ordine. 



L'operatore O sotto la sua forma di tachigrafo cartesiano somiglia al 

 nabla di Hamilton. Ne differisce però profondamente per la sostanza. Nel 

 nabla i,J, Jc devono esser quaternioni, mentre in devono esser vettori; nel 

 nabla H deve esser quaternione (sottintendiamo la notazione completa, cfr. 

 Éléments, App. II, che vale anche quando, e specialmente quando, non la si 

 usa) che è operatore vettoriale in un campo a due dimensioni, mentre 

 in 4> deve essere operatore in un campo a tre dimensioni. 



