802 CARLO LUIGI RICCI 



Poiché tutte le rette del cono Ci incontrano tutte le rette 

 del cono Og, per il teorema di reciprocità tutte le rette della 

 rigata S^ devono incontrare tutte le rette della rigata 82 , cioè 

 le due schiere rigate sono associate, ossia appartengorio alla stessa 

 quadrica (dello spazio S^). Abbiamo visto che se il cono C^ si 

 spezza in due fasci, anche la schiera rigata Sj ad esso corri- 

 spondente, si spezza in due fasci (aventi i centri distinti sulla 

 intersezione dei piani pure distinti); quindi, poiché la*?., è as- 

 sociata della Si, dovrà essa pure spezzarsi in due fasci, ognuno 

 dei quali avrà il centro di uno, ed il piano dell'altro dei fasci 

 precedenti; ma in tal caso anche il cono C^ corrispondente 

 di ^2 deve spezzarsi in due piani. 



Quindi se il punto V appartiene alla superfìcie singolare del 

 complesso 1 esso appartiene puie alla superficie singolare del 

 complesso 2, e poiché ciò vale per qualunque punto singolare, 

 ne consegue, che / due complessi quadratici 1 e 2 hanno la stessa 

 superfìcie singolare, ossia sono omofocali. 



Per le note proprietà dei piani tangenti alla superficie sin- 

 golare di un complesso quadratico risulta da quanto abbiamo 

 visto — e si può pure dimostrare in modo diretto — che se 

 per un piano si spezza in due fasci l'inviluppo del complesso 1, 

 per lo stesso piano si spezza pure l'inviluppo del complesso 2. 



§ 6. Discussione dei casi speciali. — Occupiamoci ora di de- 

 terminare in base alle proprietà della corrispondenza (I). quali 

 sono i casi speciali, che si possono presentare, e precisamente, 

 poiché i due complessi 1 e 2 sono elementi caratteristici nella 

 nostra questione, ci proporremo di studiare le varie specie di 

 questi complessi ('). Com'è noto, i complessi quadratici si clas- 

 sificano secondo le particolarità della loro superficie singolare, 

 e poiché, come abbiamo dimostrato, i complessi 1 e 2 sono 

 omofocali, essi saranno sempre della stessa specie; basterà quindi 

 studiare uno di essi. 



Le particolarità di un complesso quadratico si ricercano 

 studiando il fascio di quadriche dell'^s avente per base il com- 

 plesso medesimo. Poiché il nostro complesso 1 è l'intersezione 



(') Cfr. ad esempio C. Segre, Opere citate. 



