KELAZIOXI TJiA LE FORZE E GLI SPOSTAMENTI, ECC. 809 



In questo caso il tetraedro è la superficie singolare di en- 

 trambi i complessi 1 e 2, i quali sono quindi tetraedrali. 



Le quattro stelle di centri . i vertici del tetraedro, ed i 

 quattro piani rigati aventi per sostegni le faccie del tetraedro, 

 interpretati nello spazio S^, sono otto piani P^ comuni alle tre 

 quadriche E^, Qi, Q*^. 



Essi costituiscono la congruenza Q^ di 4" grado, — dege- 

 nere — , comune alle tre quadriche. 



Una stella ed il piano rigato opposto si corrispondono in 

 doppio modo nell'omografia (I). 



§ 2. Ciò che ora abbiamo visto ci permette di enunciare 

 il seguente: 



Teorema: Se un complesso quadratico di rette ammette ima 

 stella ed un piano rigato i cui raggi siano tutti del complesso ed 

 i cui sostegni non si appartengono, esso è un complesso tetraedrale; 

 il centro della sfella e il piano rigato sono vertice e faccia opposta 

 del tetraedro. 



TI quale può essere dimostrato direttamente come segue: 



Sia P il centro della stella, tt il piano rigato; e P non 



stia su TT. 



In ogni piano passante per P si ha un fascio, di centro P, 

 di rette del complesso; quindi detto piano deve ancora conte- 

 nere un fascio di raggi del complesso, e poiché appartiene al 

 complesso la retta intersezione del piano in questione col piano tt, 

 il centro di detto fascio deve stare su questa retta. Così pure 

 per ogni punto di tt il cono di rette del complesso si spezza 

 nel piano k stesso ed in un altro piano, il quale passa per P. 



Consideriamo ora due punti generici non allineati su P, e 

 siano yl e i^: i relativi coni di raggi del complesso segano il 

 piano tt secondo due coniche r< e è le quali passano rispettiva- 

 mente per i punti A' e B' , proiezioni su tt di .4 e B dal 

 punto P, poiché i raggi PA e PB appartengono al complesso. 

 Per ciò che si è detto poco sopra sulla retta A' B' si dovrà tro- 

 vare un punto C, centro di un fascio, contenuto nel piano PA'B' , 

 tutto di rette del complesso; quindi, poiché sono del complesso 

 le rette CA e CB , il punto C è un'intersezione delle due co- 

 niche a e h. Queste si incontrano in altri t:e punti U, F, TF; 

 per uno qualunque di questi punti, per esempio i\ sono del 



