1028 TOMMASO BOGGIO 



e che la /■ è regolare in tutto A salvo che per z = co , ove: 



(8) \ìm\f\ = cc, 



mentre la w e regolare in A, compreso il punto all'infinito. 



i^ 3. — Cambiamenti di variabile. 



Se si rappresentano nel piano complesso f = cp -^ ^^^, ì va- 

 lori che la funzione f{z) assume al variare di z nel campo A, 

 si scorge subito che la f descrive la striscia A' compresa fra 

 le rette k\ì = e n; = tt, i 



Xi pevceJa-ZV 



Un 



ea 



#- 



contorni dei due campi cor- 

 rispondendosi nel modo in- 

 dicato dalla fig. 2, 



Ai punti A e P2 del cp ' Q <P 



piano z corrispondono due '* "^ 



punti dell'asse reale qp, di ^^^- '^• 



ascisse rispettive cpi ■< e qpo > 0. 



La relazione funzionale f=f{z) stabilisce perciò la rappre- 

 sentazione conforme del campo A sulla striscia A'. Considerando 

 reciprocamente z come funzione dell'argomento /", la w, funzione 

 regolare di z, può quindi considerarsi come funzione di f, finita 

 e continua nella striscia A'. 



Dalla (5) risulta che \w\ = l sull'intero bordo superiore 

 della striscia, mentre sul bordo inferiore ciò avviene solo per 

 cp<(Pi e cp > 92- Nei punti angolosi si ha invece |w'|=0, 

 mentre in ogni altro punto del campo |?r| = F>>0. 



Se perciò si pone: 

 (9) w = e-'^^ 



e si conviene che per f = -\- co (cioè w= 1) sia uj = 0, la (9) 

 definisce una funzione uj , uniforme finita e continua nella 

 striscia A', bordi compresi, esclusi soltanto i punti corrispon- 

 denti ai punti angolosi della parete uJ, avvicinandosi ai quali 

 punti m tende verso + 00 . 



Per f= — 00 si ha, per quanto si disse al § 1, //' =r g-'«, 

 perciò UJ = a. 



Infine, sui tratti dei bordi della solita striscia, corrispon- 

 denti alle linee libere, la uj assume valori puramente reali. 



