SUL MOTO DI UNA CORRENTE LIBERA, ECC. 1039 



Queste condizioni necessarie, non sono però sufficienti. In- 

 fatti, se si ricorda che, come ha osservato recentemente il 

 Brillouin (*), le linee libere devono essere convesse verso la re- 

 gione occupata dal liquido in moto (**), si conclude, tenendo pre- 

 sente (§ 5) il significato geometrico di 0, che l'angolo 6 deve 

 crescere continuamente quando il punto P descrive le linee li- 

 bere, partendo dal punto Pi e percorrendo la linea X^ sino al- 

 l'infinito a monte, poi la |a da monte a valle e infine la h^ 

 dall'infinito a valle fino a P^. Poiché il corrispondente punto l 

 descrive il diametro reale dall'estremo -\- 1 all'estremo — 1, 

 ne segue che Q{1) è funzione decrescente di l, quando l si muove 

 sul diametro reale. Ma se l è reale, la uj è pure reale, quindi 

 dalla (20) segue u) = 6, dunque: 



(33) ^ < 0, per l reale. 



Vedremo che se la parete rigida è concava verso la regione 

 occupata dal liquido in moto, la (33) si può ritenere soddisfatta. 



Se la parete rigida uj non ha punti angolosi, la vj{l) è essa 

 stessa regolare sulla circonferenza [ Z | = 1 , perciò si può assu- 

 mere addirittura uuo = 0, quindi invece della (29) si ha sempli- 

 cemente : 



(29') uj = -L^»2". 







Per fare l'ipotesi più semplice supponiamo nella (29') che 



c„ = per ?« >■ 1 ; 



allora per mezzo delle (32) si possono calcolare subito c^ e c^, 

 e si ottiene così per la uj : 



'-0 — ^1 



quest'espressione soddisfa pure alla (33), perchè a è negativo, 

 e fornisce un moto liquido per un valore qualunque di a. 



(*) Brillouin, Les surfaces de ylissement d' Helniholtz et la résistance des 

 flmdes, p. 150 (" Ann. de Chim. et de Phys. ,, 8« serie, t. XXIII, Juin 1911). 



(**) Questa è un-a conseguenza dell'ipotesi (Helmholtz) che la velocità V 

 non superi mai il valore 1 (che è quello della velocità delle particelle a 

 distanza infinita); allora dall'equazione di Bernoulli segue p^Po, onde la 

 convessità delle linee libere. 



