SUL MOTO DI UNA CORllENTE LIBERA, ECC. 1045 



Calcoliamo ora le lunghezze dei segmenti 0I\ e OP2. Basta 

 applicare le (24), perciò occorre calcolare prima la grandezza 

 della velocità, cioè e^. Se il punto l e sopra la semicirconfe- 

 renza (-f- 1, /, — 1), in guisa che l = r'^, con << <? <C ^» si ha : 



Z — i coso 



I — il 1 -|sen<^ ' 



dunque, ricordando la (20), cioè che h è la parte immaginaria 

 di uu, ossia, nel caso attuale, di lUo, si deduce dalla (40): 



f , ,\ Ili cos Ci I 



(44) T = -^- log 



2 ^^ 1 l + seno ! ' 



sostituendo nelle (24) si ottengono integrali che si possono cal- 

 colare sotto forma finita; limitandoci al caso particolare in cui 

 b = 00 (cioè Ei =: 0), si trova: 



i r,rj M I /a + 1 , l' 2^ — V « -f Ì , tt , , V 2 — 1 > 



\ '"^- = il > - i' — '"« 1-2, + y^ + m^)+a + '"g ^¥Ti f 



1 ) 1 /« — 1 , ]'2a — y~a^l , TT 1^„^2 



12^ f « y2«+i«— 1 i'«(«+i)+« 



1 V2-n 



Avendo cosi determinato le lunghezze OP^ , OP2 passiamo 

 ad occuparci della linea libera X^ ; essa si stacca da P.2 e pro- 

 segue sino all'infinito a valle, in guisa da volgere la convessità 

 verso il campo A, ed ha un asintoto parallelo all'asse Ox. 



L'affissa di un punto generico di detta linea è dato dalla (26), 

 quindi per la sua ordinata // si ha: 



(46) // --- Ossene, + |_^ (i^ -2al-{-l){l^ -^ 2bl + lf ^^' 



con L reale e compreso fra 1 e E^. 



Per 1 = ^1 la (46) fornisce la distanza l dell'asintoto di X2 

 dall'asse Ox. 



Dalla (41) segue, applicando il teorema dei seni al trian- 

 golo dei vertici {i, E^ , l): 



(— =, -rZ:)sen3, 

 senuuo = — 



Atti della R. Accademia — Voi. XLVI. 67 



